数学II / 図形と方程式

円外の点からの接線

★★★ 応用円の接線

問題

点 $(4, 2)$ から円 $x^{2} + y^{2} = 4$ に引いた2本の接線の方程式を求めよ。

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接線を『点 $(4, 2)$ を通る傾き $m$ の直線』とおいて、接する条件を中心からの距離で書く。答えの本数が足りないときは、傾きで表せない直線を見落としていないか疑うこと。

解答・解説

方針

接線は点 $(4, 2)$ を通る直線。傾き $m$ とおいて式を作り、「中心との距離=半径」から $m$ を決める。 $y$ 軸に平行な場合の見落としに注意。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 点 $(4, 2)$ は円の外にある。円上の点での接線公式は、接点が分からないと使えない。

そこで接線を「 $(4, 2)$ を通る傾き $m$ の直線」とおく。円に接する条件は「中心との距離＝半径」。これを $m$ の方程式にして解く。

傾き $m$ で表せない直線が $1$ つある。 $y$ 軸に平行な縦の直線だ。これを別に確認するところまでが一組だ。

公式円外の点からの接線:接線とおいて「中心と直線の距離=半径」で傾きを決める

接線を $y - 2 = m (x - 4)$ 、すなわち $m x - y + (2 - 4 m) = 0$ とおく。中心 $O (0, 0)$ からの距離が半径 $2$ に等しい。

$\frac{∣2 - 4 m ∣}{m ^{2} + 1} = 2$

両辺2乗して整理する。

$(2 - 4 m)^{2} = 4 (m^{2} + 1) \Rightarrow 4 - 16 m + 16 m^{2} = 4 m^{2} + 4$

$12 m^{2} - 16 m = 0 \Rightarrow 4 m (3 m - 4) = 0 \Rightarrow m = 0, \frac{4}{3}$

$m = 0$ のとき $y = 2$ 。 $m = \frac{4}{3}$ のとき $y - 2 = \frac{4}{3} (x - 4)$ 、整理して $4 x - 3 y - 10 = 0$ 。

点(4,2)から引いた2本の接線

発展 — 一歩先へ。 円外の点から引いた $2$ 本の接線は、その点と中心を結ぶ直線に関して線対称で、長さも等しい。 $2$ 本のなす角は、点が中心から遠いほど小さく、円に近いほど大きい。

では「 $2$ 本の接線がちょうど直角に交わる」のはどんな点か。中心からの距離を $d$ 、半径を $r$ とすると、直角になるのは $d = 2 r$ のとき。そういう点は半径 $2 r$ の同心円上に並び、これを準円(director circle)という。 $x^{2} + y^{2} = 4$ の準円は $x^{2} + y^{2} = 8$ だ。

いまの点 $(4, 2)$ は中心からの距離が $25$ で、 $22$ より遠い。だから $2$ 本の接線は直角より鋭い角で交わる。準円の考えは楕円にも引き継がれ、 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の直交する $2$ 接線の交点は $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ の上に並ぶ。

答

$y = 2$ 、 $4 x - 3 y - 10 = 0$

別解

別解 — 2接線をまとめて1つの式で出す(得意な人向けの視点)。 円 $S : x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ と外部の点 $(x_{1}, y_{1}) = (4, 2)$ について、そこから引いた $2$ 本の接線は、次の $1$ つの式にまとまる。

$S \cdot S_{1} = T^{2}, S_{1} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - 4, T = x_{1} x + y_{1} y - 4.$

ここで $S_{1} = 4^{2} + 2^{2} - 4 = 16$ 、 $T = 4 x + 2 y - 4$ 。代入すると

$16 (x^{2} + y^{2} - 4) = (4 x + 2 y - 4)^{2} .$

左辺へ移して整理すると、

$16 (x^{2} + y^{2} - 4) - (4 x + 2 y - 4)^{2} = - 4 (y - 2) (4 x - 3 y - 10) .$

これが $0$ だから $(y - 2) (4 x - 3 y - 10) = 0$ 。 $2$ 本の接線 $y = 2$ 、 $4 x - 3 y - 10 = 0$ が一度に出る。

傾きで場合分けする本解と同じ答えだが、この式は縦の接線も自動で含むので、 $y$ 軸平行の見落としが原理的に起きないのが利点だ。

ポイント

接線=通る点を使って傾きでおき、距離=半径で $m$ 。
$m$ は2次方程式になり、ふつう2つの接線が出る。

よくある間違い

接線を $m x - y + (2 - 4 m) = 0$ の形に直さず、中心からの距離の分母 $m^{2} + 1$ を取り違える。
$12 m^{2} - 16 m = 0$ を $m$ で割ってしまい、 $m = 0$ に対応する接線 $y = 2$ を落とす。
傾き $m$ が $1$ 本しか出ないとき、 $y$ 軸に平行な接線を見落としていないか確認しない。