円上の点における接線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の公式は、驚くほど覚えやすい。

$$x_{1}x+y_{1}y=r^2$$

元の式の $x^2$ を $x_{1}x$ に、$y^2$ を $y_{1}y$ に置きかえるだけ。 $2$ 乗のうち、片方を接点の座標にする、と覚える。

$$3x+4y=25$$

まず確認すべきこと: 点 $(3,4)$ は本当に円上にあるか。

$$3^2+4^2=9+16=25✓$$

円上にある。 この確認を飛ばしてはいけない — 公式は「円上の点」でしか使えないからだ(円の外の点から引く接線は、話が別になる)。

接点 $(3,4)$、$r^2=25$ を当てはめる。

$$3x+4y=25$$

この接線は、中心と接点を結ぶ半径に垂直になっている(図)。

発展 — 一歩先へ。 接線の公式 $x_{1}x+y_{1}y=r^2$ の作り方には、「半分ずつ置きかえる」という美しい規則がある。

$$x^2\to x_{1}x,y^2\to y_{1}y$$

この規則は、円が中心からずれていても通用する。

円 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上の点 $(x_1,y_1)$ での接線は

$$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$

やはり「片方だけ接点に置きかえる」。

この規則は、円だけでなく $2$ 次曲線一般に成り立つ。 楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1,y_1)$ での接線は

$$\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$$

まったく同じ形をしている。 数Cの「平面上の曲線」で、この公式に再会するだろう。

なぜこんな規則が成り立つのか。 それは、接線が「曲線を微分したもの」だからである。

$x^2+y^2=r^2$ を $x$ で微分すると(陰関数の微分、数III)

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0⟹\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

点 $(3,4)$ での傾きは $-\frac{3}{4}$ ✓ — 別解で求めた傾きと一致する。

「接線 $\perp$ 半径」という幾何的な事実と、「微分が傾きを与える」という解析的な事実が、同じ答えを出す。

幾何・代数・解析 — $3$ つの分野が、$1$ 本の接線の上で出会っている。 高校数学の各単元は、バラバラに見えて、実は同じ対象を違う言葉で語っているのだ。

別解

公式を忘れても、「接線 $\perp$ 半径」から自力で導ける。 そして、この導出こそが公式の意味を教えてくれる。

手順1: 半径の傾きを求める。

中心 $\mathrm{O}(0,0)$ と接点 $\mathrm{P}(3,4)$ を結ぶ半径 $\mathrm{OP}$ の傾きは

$$\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}$$

手順2: 接線は半径に垂直。

円の接線は、接点を通る半径と必ず垂直である(数Aの図形の性質で学んだ通り)。

$$(\text{接線の傾き})=-\frac{3}{4}\left(\frac{4}{3}\times \left(-\frac{3}{4}\right)=-1✓\right)$$

手順3: 点 $(3,4)$ を通る、傾き $-\frac{3}{4}$ の直線。

$$y-4=-\frac{3}{4}(x-3)$$

$4$ 倍して整理する。

$$4y-16=-3x+9⟹3x+4y=25✓$$

公式と同じ答えが出た。

この導出で、公式の構造が見える。 接点が $(x_1,y_1)$ なら、半径の傾きは $\frac{y_1}{x_1}$、接線の傾きは $-\frac{x_1}{y_1}$。点 $(x_1,y_1)$ を通る直線は

$$y-y_1=-\frac{x_1}{y_1}(x-x_1)$$

分母を払って整理すると

$$x_{1}x+y_{1}y=x_1^2+y_1^2=r^2$$

(最後は「$(x_1,y_1)$ が円上にある」を使った。)これが公式の証明である。

さらに、$3$ つ目の見方: 中心から接線までの距離が、ちょうど半径。

接線 $3x+4y-25=0$ と中心 $(0,0)$ の距離を測ってみる。

$$d=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 0-25|}{\sqrt{9+16}}=\frac{25}{5}=5=r✓$$

距離が半径にぴったり等しい — これが「接する」ことの定義そのものだ。答えの検算に使える。

接線の $3$ つの捉え方をまとめる。

円の外の点から接線を引くときは、公式が使えない。 そのときは「傾き $m$ の直線を置いて、中心からの距離 $=$ 半径」とするのが定跡だ($2$ 本引ける)。状況で道具を替える — それが解く力である。