弦の長さから直線を決める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の長さは公式 $2\sqrt{r^2-d^2}$ で表せる($d$ は中心と直線の距離)。ふつうは $d$ から弦の長さを出す。

この問題は逆だ。弦の長さのほうが与えられている。だから公式を逆向きに使い、$d$ を先に逆算する。

求めた $d$ を、点と直線の距離の公式で $k$ の式として書く。それを解けば $k$ が出る。公式を逆に使って未知の距離を求める、これが発想だ。

半径 $r=2$。弦の長さが $2\sqrt{3}$ なので

$$2\sqrt{4-d^2}=2\sqrt{3}\Rightarrow 4-d^2=3\Rightarrow d^2=1\Rightarrow d=1$$

一方、中心 $\mathrm{O}(0,0)$ から直線 $x-y+k=0$ までの距離は

$$d=\frac{|k|}{\sqrt{2}}$$

これが $1$ に等しいので

$$\frac{|k|}{\sqrt{2}}=1\Rightarrow |k|=\sqrt{2}\Rightarrow k=\pm \sqrt{2}$$

発展 — 一歩先へ。 弦の長さ $2\sqrt{r^2-d^2}$ は、弦の半分・半径・中心距離が作る直角三角形(三平方の定理)から出る。中心距離 $d$ が $0$ なら弦は直径で最長 $2r$、$d=r$ なら弦は $0$ に縮んで直線は接する。

$y=x+k$ は $k$ を変えると平行に動く直線の族だ。弦の長さは中心距離 $d=\frac{|k|}{\sqrt{2}}$ だけで決まるから、同じ長さの弦を与える $k$ は中心をはさんで対称に $2$ つ、いまの $k=\pm \sqrt{2}$ になる。

弦の長さは向きでなく「中心からどれだけ離れているか」だけで決まる。円の対称性がそのまま現れている。

別解

別解 — 直線を円に代入し、解と係数で弦を測る(得意な人向けの代数ルート)。 中心距離の公式を使わず、交点そのものを扱う。$y=x+k$ を $x^2+y^2=4$ に代入すると

$$x^2+(x+k{)}^2=4⟹2x^2+2kx+(k^2-4)=0.$$

交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると、解と係数の関係から $x_1+x_2=-k$、$x_1{x}_2=\frac{k^2-4}{2}$。

直線の傾きが $1$ なので、$2$ 交点の距離の $2$ 乗は $(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2=2(x_1-x_2{)}^2$。ここで $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=k^2-2(k^2-4)=8-k^2$。

だから弦の長さの $2$ 乗は $2(8-k^2)$。これが $(2\sqrt{3}{)}^2=12$ に等しいから $8-k^2=6$、$k^2=2$、$k=\pm \sqrt{2}$。

中心距離で解く本解と同じ $k=\pm \sqrt{2}$。交点の座標を求めずに、和と積だけで弦の長さを出すのが解と係数のうまみだ。