接する動円の中心の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 接する条件は、ぜんぶ半径の言葉に翻訳できる。動円の中心を $\mathrm{P}(x,y)$、半径を $r$ とする。

「$y$ 軸に接する」は、中心から $y$ 軸までの距離が半径ということ。つまり $r=x$($x>0$)。「円 A に外接する」は、中心間の距離が半径の和ということ。つまり $\mathrm{PA}=r+1$。

2式から $r$ を消すと $\mathrm{PA}=x+1$ の一本にまとまる。左辺は点 A からの距離。右辺は $x-(-1)$、すなわち直線 $x=-1$ からの距離。「定点からの距離と定直線からの距離が等しい」という、放物線の定義の形が現れた。あとは2乗して整理すればよい。

① 半径を $x$ で表す。 $\mathrm{P}(x,y)$、$x>0$。$y$ 軸に接するので動円の半径は $x$。

② 外接条件。 円 A(中心 $\mathrm{A}(4,0)$、半径 $1$)に外接するから

$$\mathrm{PA}=x+1,\text{すなわち}\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}=x+1$$

③ 2乗して整理。

$$(x-4{)}^2+y^2=(x+1{)}^2$$ $$x^2-8x+16+y^2=x^2+2x+1$$ $$y^2=10x-15=10\left(x-\frac{3}{2}\right)$$

これは頂点 $\left(\frac{3}{2},0\right)$、右に開く放物線。

まとめ:2つの接触条件を「$\mathrm{PA}=x+1$」の一本にまとめると、点 A(焦点)からの距離と直線 $x=-1$(準線)からの距離が等しい形になり、放物線と分かる。接する条件を半径の言葉に翻訳するのが急所。

発展 — 一歩先へ。 接触条件は円錐曲線の製造機だ。本問(直線と円に接する)は放物線を生んだが、2つの定円の両方に接する動円の中心は、2中心からの「距離の和・差が一定」となって楕円や双曲線を描く。数学Cで出会う3つの曲線は、みなこの「接する円の家族」から生まれる。

別解

焦点・準線から直接書き下ろす(2乗しない高い視点)。 ⓪で見た $\mathrm{PA}=x+1$ を、そのまま「2つの距離の等式」として読み切る。

右辺 $x+1$ は、P から直線 $x=-1$ までの距離($x>0$ の範囲で)。だから条件は「点 $\mathrm{A}(4,0)$ からの距離 $=$ 直線 $x=-1$ からの距離」。これは焦点 A・準線 $x=-1$ をもつ放物線の定義そのものだ。

頂点は焦点と準線のちょうど中間で $\left(\frac{3}{2},0\right)$。焦点から頂点までの距離は $p=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。放物線の標準形 $y^2=4pX$ を頂点まで平行移動して

$$y^2=4\cdot \frac{5}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)=10\left(x-\frac{3}{2}\right)$$

2乗の計算を一度もせずに答えへ届く。放物線の焦点・準線(数学Cの内容)を知っていれば、「距離の等式」は定義の即読みで片づく。