直線上の点で三角形の面積を指定する

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角形 $\mathrm{PAB}$ の面積を、底辺 $\mathrm{AB}$ を固定して考える。面積 $=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot (\mathrm{P}$ から直線 $\mathrm{AB}$ までの距離$)$。

$\mathrm{AB}$ の長さと、直線 $\mathrm{AB}$ の方程式を求める。$\mathrm{AB}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$、直線 $\mathrm{AB}$ は $x+3y-3=0$。

$\mathrm{P}$ は $y=x$ 上だから $\mathrm{P}(t,t)$。$\mathrm{P}$ から直線 $\mathrm{AB}$ までの距離を $t$ で表し、面積 $=5$ の方程式を立てる。$t$ の絶対値の方程式になり、$2$ 解が出る。

① 底辺と直線 $\mathrm{AB}$。 $\mathrm{AB}=\sqrt{(3-0{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{10}$。直線 $\mathrm{AB}$ は $2$ 点 $(0,1),(3,0)$ を通り、$x+3y-3=0$。

② 高さを $t$ で表す。 $\mathrm{P}(t,t)$ から直線 $\mathrm{AB}$ までの距離は

$$d=\frac{|t+3t-3|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|4t-3|}{\sqrt{10}}$$

③ 面積の方程式。

$$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10}\cdot \frac{|4t-3|}{\sqrt{10}}=5⟹\frac{|4t-3|}{2}=5⟹|4t-3|=10$$

$4t-3=10$ より $t=\frac{13}{4}$、$4t-3=-10$ より $t=-\frac{7}{4}$。よって

$$\mathrm{P}\left(\frac{13}{4},\frac{13}{4}\right),\left(-\frac{7}{4},-\frac{7}{4}\right)$$

まとめ:「動点をとって三角形の面積を指定」は、底辺を固定し高さ(点と直線の距離)を変数で表す。$\sqrt{10}$ が約分で消え、$|4t-3|=10$ という絶対値方程式に。直線の反対側に $2$ 点できるので解は $2$ つ。

発展 — 一歩先へ。 $3$ 点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ の三角形の面積は $\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$(座標の行列式)。$\mathrm{P}$ を動かすと面積が $1$ 次式で変わり、面積一定の $\mathrm{P}$ は $\mathrm{AB}$ に平行な $2$ 直線上に並ぶ。ベクトルの外積の大きさが平行四辺形の面積、という考えの $2$ 次元版だ。

別解

別解 — 面積を座標の行列式で直接立てる(得意な人向けの視点)。 $\mathrm{P}(t,t)$、$\mathrm{A}(0,1)$、$\mathrm{B}(3,0)$ の三角形の面積を、座標から直接計算する公式で書く。

$$△\mathrm{PAB}=\frac{1}{2}|(A_x-P_x)(B_y-P_y)-(B_x-P_x)(A_y-P_y)|.$$

$\mathrm{P}(t,t)$ を代入すると

$$\frac{1}{2}|(0-t)(0-t)-(3-t)(1-t)|=\frac{1}{2}|t^2-(3-4t+t^2)|=\frac{1}{2}|4t-3|.$$

これが $5$ だから $|4t-3|=10$、$t=\frac{13}{4}$ または $t=-\frac{7}{4}$。$\mathrm{P}\left(\frac{13}{4},\frac{13}{4}\right)$ と $\left(-\frac{7}{4},-\frac{7}{4}\right)$。

底辺 $\times$ 高さの本解と同じだが、$3$ 点の座標から面積を出す行列式(たすき掛け)公式なら、直線 $\mathrm{AB}$ の距離を経由せず一発。$t^2$ の項がきれいに消えて $1$ 次式 $|4t-3|$ になるのも見どころだ。