対称式で表された点の存在範囲

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 動く点の座標が $s+t$ と $st$。どちらも対称式だ。そこで $u=s+t,v=st$ とおいて、$(u,v)$ の満たす条件に翻訳する。

翻訳すべき条件は2つある。1つ目は拘束 $s^2+t^2=1$。$s^2+t^2=(s+t{)}^2-2st=u^2-2v$ と書けるから、$u^2-2v=1$ という曲線の式になる。

2つ目を忘れやすい。$s,t$ が実数だという条件だ。和が $u$・積が $v$ の2数 $s,t$ は、2次方程式 $X^2-uX+v=0$ の解。実数であるためには判別式 $\ge 0$、つまり $u^2-4v\ge 0$ が要る。曲線の式が「乗る線路」を、実数条件が「動ける区間」を決める。

① 置きかえと拘束。 $u=s+t,v=st$。

$$s^2+t^2=u^2-2v=1⟺v=\frac{u^2-1}{2}$$

これが点 $(u,v)$ の乗る曲線(放物線)。

② 実数条件で範囲を絞る。 $s,t$ が実数 ⟺ $u^2-4v\ge 0$。$v=\frac{u^2-1}{2}$ を代入すると

$$u^2-4\cdot \frac{u^2-1}{2}\ge 0⟺u^2-2(u^2-1)\ge 0⟺-u^2+2\ge 0⟺u^2\le 2$$

すなわち $-\sqrt{2}\le u\le \sqrt{2}$。

③ 結論。 存在範囲は放物線 $v=\frac{u^2-1}{2}$ の $-\sqrt{2}\le u\le \sqrt{2}$ の部分(両端 $u=\pm \sqrt{2}$ を含む)。

まとめ:対称式は基本対称式 $u,v$ に置換し、「拘束 → 軌跡の式」「実数条件 $u^2-4v\ge 0$ → 動く範囲」の2枚看板で攻めるのが急所。放物線を無限に描かず、$|u|\le \sqrt{2}$ の弧に限る(実数解をもつ範囲)ことを落とさない。

発展 — 一歩先へ。 $(u,v)$ 平面は「2次方程式の一覧表」とみなせる。点 $(u,v)$ は方程式 $X^2-uX+v=0$ に対応し、判別式の放物線 $v=\frac{u^2}{4}$ より下が実数解の世界。本問の答えは、拘束の放物線 $v=\frac{u^2-1}{2}$ をその世界で切り取った弧だった。解の配置の議論は、みなこの平面の図形の交わりとして描ける。

別解

三角関数で表して合成する(範囲が目で見えるルート)。 拘束 $s^2+t^2=1$ は単位円だから、$s=\cos \theta ,t=\sin \theta$ と置ける。すると

$$u=\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right),v=\cos \theta \sin \theta =\frac{u^2-1}{2}$$

($v$ の式は $u^2=1+2\cos \theta \sin \theta$ から。)合成の式を見れば、$u$ の動く範囲は $-\sqrt{2}\le u\le \sqrt{2}$ と直接読める。判別式を持ち出さなくても、範囲が振幅として目に見える。

このルートでは $s,t$ は最初から実数(単位円上の点)なので、実数条件のチェックそのものが不要になる。本解で判別式 $u^2-4v\ge 0$ が果たした役割を、合成の振幅が肩代わりしているわけだ。

2つの道具が同じ範囲 $|u|\le \sqrt{2}$ を指すことを見比べておくと、対称式と三角関数のあいだに橋がかかる。