円と直線の共有点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「共有点」とは、両方の式を同時に満たす点。だから連立方程式を解けばよい。

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ y=x+1\end{array}$$

直線の式を、円の式に代入する。($y$ が $x$ で表されているので、代入が楽だ。)

$$x^2+(x+1{)}^2=5$$

$$x^2+x^2+2x+1=5⟹2x^2+2x-4=0⟹x^2+x-2=0$$

$2$ 次方程式になった。

$$(x-1)(x+2)=0⟹x=1,-2$$

$y$ を忘れずに求める。 $y=x+1$ に戻して

$$x=1\to y=2,x=-2\to y=-1$$

$x$ だけ出して安心しない。 聞かれているのは点の座標である。

$y=x+1$ を $x^2+y^2=5$ に代入する。

$$x^2+(x+1{)}^2=5$$

展開して整理する。

$$2x^2+2x+1=5\Rightarrow 2x^2+2x-4=0\Rightarrow x^2+x-2=0$$

因数分解して

$$(x+2)(x-1)=0\Rightarrow x=-2,1$$

$y=x+1$ に戻す。$x=-2$ のとき $y=-1$、$x=1$ のとき $y=2$。よって共有点は $(-2,-1)$、$(1,2)$。

発展 — 一歩先へ。 円と直線の共有点は、多くても $2$ 個である。これは「円が $2$ 次曲線だから」だ。

代入して得られる方程式の次数が、共有点の個数の上限を決める。

• 直線と直線: $1$ 次方程式 → 共有点は最大 $1$ 個
• 円と直線: $2$ 次方程式 → 最大 $2$ 個
• 円と円: (引き算すると直線になる)→ 最大 $2$ 個
• $3$ 次曲線と直線: $3$ 次方程式 → 最大 $3$ 個

「$m$ 次曲線と $n$ 次曲線の交点は、最大 $mn$ 個」 — これをベズーの定理という(複素数の範囲で、重複も数えれば、ちょうど $mn$ 個)。

円($2$ 次)と円($2$ 次)なら $2\times 2=4$ 個? — 実際には最大 $2$ 個に見える。残りの $2$ 個はどこへ行ったのか。

答え: 無限遠点と、複素数の点に隠れている。 すべての円は「無限遠にある $2$ つの虚な点」を共有している、という驚くべき事実がある(円点と呼ばれる)。だから実際に見える交点は $4-2=2$ 個。

この "見えない交点" を数に入れることで、定理がきれいに成立する。 数学者は、法則を美しく保つために、しばしば世界を広げる — 虚数を導入したのと、同じ精神である。

高校の範囲では見えないが、その先には「射影幾何」「代数幾何」という広大な世界が広がっている。 $x^2+y^2=5$ と $y=x+1$ の交点を求めるという素朴な計算は、その入り口に立っている。

別解

計算する前に、「共有点がいくつあるか」を予言できる。 中心と直線の距離を見るだけだ。この見方は、円と直線の問題すべてを見通す。

予言の方法: 中心から直線までの距離 $d$ と、半径 $r$ を比べる。

円 $x^2+y^2=5$ の中心は原点 $(0,0)$、半径は $\sqrt{5}\approx 2.24$。

直線 $y=x+1$ を一般形に直す。

$$x-y+1=0$$

中心 $(0,0)$ からの距離を、公式で出す。

$$d=\frac{|1\cdot 0-1\cdot 0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.71$$

比べる。

$$d=0.71<r=2.24$$

距離が半径より小さい → 直線は円の中に食い込んでいる → 共有点は $2$ 個。

計算する前に、答えの個数が分かった。

$3$ つの場合を、絵で覚える。

判別式と、距離。$2$ つの方法は必ず一致する。

実際、代入して得た $2$ 次方程式 $x^2+x-2=0$ の判別式は

$$D=1+8=9>0$$

正 → 実数解 $2$ 個 → 共有点 $2$ 個 ✓ 距離で予言した通り。

どちらを使うべきか。

• 共有点の"座標"が欲しい → 代入して解く(判別式ルート)
• 共有点の"個数"だけ知りたい → 距離を測る(こちらが圧倒的に速い)
• 接する条件を求めたい → 距離 $=$ 半径とおく(判別式 $=0$ より計算が楽なことが多い)

特に「接する条件」では、距離ルートが強い。

たとえば「直線 $y=x+k$ が円 $x^2+y^2=5$ に接するような $k$ を求めよ」なら

$$\frac{|k|}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}⟹|k|=\sqrt{10}⟹k=\pm \sqrt{10}$$

$3$ 行で終わった。 判別式でやると、代入・展開・整理・$D=0$ と手順が増える。

検算も忘れずに。 求めた $2$ 点が、本当に円の上にあるか。

$$(1{)}^2+(2{)}^2=5✓,(-2{)}^2+(-1{)}^2=5✓$$

両方とも円上にある。 そして直線 $y=x+1$ 上にもある($2=1+1$ ✓、$-1=-2+1$ ✓)。$2$ つの式を両方チェックする — 連立方程式の答えは、必ず両方に代入して確かめる。