三角形の面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 座標平面の三角形の面積は、「底辺×高さ÷2」を座標の道具で組み立てる。

底辺は2点間の距離(たとえば $\mathrm{BC}$)。高さは、残りの頂点 $\mathrm{A}$ から直線 $\mathrm{BC}$ までの距離だ。

直線の式 → 点と直線の距離、と今まで習った道具が数珠つなぎで働く。この単元の総合演習のような1問である。

底辺 $\mathrm{BC}$ の直線を求める。傾きは $\frac{2-(-1)}{4-(-2)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。$\mathrm{B}(-2,-1)$ を通るので $y+1=\frac{1}{2}(x+2)$、整理して

$$x-2y=0$$

高さは $\mathrm{A}(1,5)$ から直線 $x-2y=0$ までの距離。

$$h=\frac{|1-2\cdot 5|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|-9|}{\sqrt{5}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$$

底辺の長さは

$$\mathrm{BC}=\sqrt{(4+2{)}^2+(2+1{)}^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$$

面積は

$$\frac{1}{2}\times 3\sqrt{5}\times \frac{9}{\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\times 27=\frac{27}{2}$$

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{2}|ad-bc|$ は、底辺・高さ方式を文字で一般化すると導ける(距離の根号が約分で消える)。2つの方法は同じ計算の別の顔だ。

頂点がすべて格子点の多角形なら、面積は「内部の格子点数+周上の格子点数の半分−1」で数えられるというピックの定理も知られている。座標幾何と数え上げが出会う、楽しい寄り道である。

別解

1つの頂点を原点へ平行移動すると、面積が「たすき掛け」1回で出る。

$\mathrm{B}$ が原点に来るように全体をずらす。$\mathrm{A}-\mathrm{B}=(3,6)$、$\mathrm{C}-\mathrm{B}=(6,3)$。平行移動しても面積は変わらない。

原点と2点 $(a,b)$、$(c,d)$ の三角形の面積は

$$S=\frac{1}{2}|ad-bc|$$

という公式で一撃だ。代入して

$$S=\frac{1}{2}|3\times 3-6\times 6|=\frac{1}{2}|9-36|=\frac{27}{2}$$

底辺・高さの計算(距離の根号)が一切出てこないのが強みで、頂点が格子点の三角形では最速ルートになる。公式の中身 $ad-bc$ は、数学Cで学ぶ外積(の2次元版)である。