円上の点と直線の距離の最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円上の点 $\mathrm{P}$ から直線までの距離は、まず「中心から直線までの距離 $d$」を基準にする。

中心 $(1,2)$ から直線 $3x+4y=0$ までの距離は $d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{11}{5}$。

$\mathrm{P}$ は半径 $r=2$ の円周上を動く。$\mathrm{P}$ から直線までの距離は、中心からの $d$ を中心に $\pm r$ の範囲を動く。最大は $d+r=\frac{11}{5}+2=\frac{21}{5}$、最小は $d-r=\frac{11}{5}-2=\frac{1}{5}$。

① 中心から直線までの距離。 中心 $\mathrm{C}(1,2)$、半径 $r=2$。直線 $3x+4y=0$ までの距離は

$$d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3+8|}{5}=\frac{11}{5}$$

$d=\frac{11}{5}>r=2$ なので、直線は円と交わらない。

② 最大・最小。 円上の点から直線までの距離は $d\pm r$ の範囲。

$$\text{最大}=d+r=\frac{11}{5}+2=\frac{21}{5},\text{最小}=d-r=\frac{11}{5}-2=\frac{1}{5}$$

まとめ:円上の点と直線の距離は「中心からの距離 $d$ ± 半径 $r$」。$d>r$(交わらない)なら最小 $d-r>0$。中心を通り直線に垂直な線が、最も近い点と遠い点を通る。$d<r$(交わる)なら最小は $0$ になる点に注意。

発展 — 一歩先へ。 円上の点から直線までの距離が「中心距離 $\pm$ 半径」を動くのは、円が直線から最も近い点・遠い点が、中心から直線に下ろした垂線と円の交点だから。最大点と最小点は直径の両端(中心を通り直線に垂直な直線上)にある。距離の最大最小は「中心を基準に半径ぶん揺れる」という円の一様性の現れだ。

別解

別解 — 中心・直線・円のパラメータで最遠・最近点を特定する(得意な人向けの視点)。 円上の点を $\mathrm{P}(1+2\cos \theta ,2+2\sin \theta )$($中心(1,2)$・半径 $2$)とパラメータ表示し、直線 $3x+4y=0$ までの距離を $\theta$ で書く。

$$\text{距離}=\frac{|3(1+2\cos \theta )+4(2+2\sin \theta )|}{5}=\frac{|11+6\cos \theta +8\sin \theta |}{5}.$$

$6\cos \theta +8\sin \theta$ は合成すると $\sqrt{6^2+8^2}\sin (\theta +\phi )=10\sin (\theta +\phi )$、範囲 $[-10,10]$。だから分子の中身 $11+6\cos \theta +8\sin \theta$ は $11-10=1$ から $11+10=21$ を動く。距離は $\frac{1}{5}$ から $\frac{21}{5}$。

「中心から距離 $\pm$ 半径」の本解と同じ最大 $\frac{21}{5}$・最小 $\frac{1}{5}$。合成 $6\cos \theta +8\sin \theta$ の振幅 $10$ が「半径 $2\times$ 法線係数 $5$」に対応する($10=2\cdot 5$)。円周上を回る点の直線までの距離が正弦波になる、と見える。