数学II / 図形と方程式

円上の点と定点を結ぶ中点の軌跡

実戦編図形と方程式軌跡中点円単元横断

問題

点 $P$ が円 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上を動くとき、定点 $A (6, 0)$ と $P$ の中点 $M$ の軌跡を求めよ。

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$M (X, Y)$ とおくと、中点の関係から $P$ の座標が $X, Y$ で書ける。 $P$ が円上にあることを代入。

解答・解説

方針

求める点 $M$ を $(X, Y)$ とおき、動く点 $P$ を $M$ で表す。 $P$ が満たす式(円の方程式)に代入して、 $X, Y$ の関係を出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 求めたいのは $M$ の軌跡。だから $M = (X, Y)$ と名前をつけ、これを主役にする。

動く点 $P$ は従属変数だ。中点の式を逆に解いて $P = (2 X - 6, 2 Y)$ と、 $P$ を $M$ で表す。

$P$ の従う法則は「円 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上にある」こと。そこに代入すれば、 $X, Y$ だけの関係式=軌跡の方程式が出る。

① 中点で $P$ を表す。 $M (X, Y)$ とすると、 $A (6, 0)$ との中点だから $X = \frac{6 + p _{x}}{2}, Y = \frac{0 + p _{y}}{2} ⟹ P = (p_{x}, p_{y}) = (2 X - 6, 2 Y) .$ ② 円の式に代入。 $P$ は $x^{2} + y^{2} = 4$ 上にあるから $(2 X - 6)^{2} + (2 Y)^{2} = 4.$ ③ 整理する。 $4 (X - 3)^{2} + 4 Y^{2} = 4$ 、両辺 $4$ で割って $(X - 3)^{2} + Y^{2} = 1.$

P が円 x²+y²=4(左)を動くと、A(6,0)との中点 M は中心 (3,0)・半径 1 の円(右)を描く。

よって $M$ の軌跡は中心 $(3, 0)$ 、半径 $1$ の円。

まとめ 軌跡は求める点 $M (X, Y)$ を主役に、動く点 $P$ を $X, Y$ で表して元の条件に代入。中点なので半径・中心が半分の位置に縮む。中心 $(3, 0)$ 、半径 $1$ 。図形と方程式(軌跡)・中点の融合。

発展 — 一歩先へ。 中点を「 $2 : 1$ の内分点」に変えれば $\frac{1}{3}$ や $\frac{2}{3}$ 倍の縮小になるだけで、やはり円が出る。一般に「動点の図形を、定点中心に一定比率で縮めた(伸ばした)軌跡」は元と相似な図形。軌跡の問題は、平行移動・相似・回転のどれかの変換に翻訳できないかをまず疑うとよい。

答

$M (X, Y)$ とすると $P = (2 X - 6, 2 Y)$ 。 $P$ が円上より $(2 X - 6)^{2} + (2 Y)^{2} = 4$ 、整理して $(X - 3)^{2} + Y^{2} = 1$ 。中心 $(3, 0)$ 、半径 $1$ の円。

別解

別解 — 「半分に縮めるコピー機」と見る(得意な人向けの高い視点)。 中点の式 $M = \frac{A + P}{2}$ は、「 $P$ を、 $A$ を中心に $\frac{1}{2}$ 倍へ縮めた点」と読める。

$P$ が円全体を動くなら、 $M$ はその円を丸ごと「 $A$ 中心に $\frac{1}{2}$ 倍」した図形を動く。円を縮小すれば円だ。

新しい中心は、元の中心 $(0, 0)$ と $A (6, 0)$ の中点 $(3, 0)$ 。新しい半径は $2 \times \frac{1}{2} = 1$ 。

$(x - 3)^{2} + y^{2} = 1.$

逆代入(本解)が1行で終わる。軌跡の問題の多くは「平行移動・相似・回転のどれかで写した図形」であり、変換の言葉で見ると計算の前に答えの形が分かる。

ポイント

求める点 $M (X, Y)$ を主役にする。
中点の関係から $P = (2 X - 6, 2 Y)$ 。
円の式に代入して $(X - 3)^{2} + Y^{2} = 1$ 。

よくある間違い

$M$ を $P$ で表したまま止まる(逆に解いて $P$ を $M$ で表し、 $P$ の式に代入するのが軌跡の型)。
$(2 X - 6)^{2} + (2 Y)^{2} = 4$ の両辺を $4$ で割らず、半径を $2$ のまま答える。
途中の大文字 $(X, Y)$ を最後に $x, y$ へ書き戻さず、答えの式の文字が混在する。