弦の中点から弦の直線を求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円の弦の中点 $\mathrm{M}$ と中心 $\mathrm{C}$ を結ぶ線分 $\mathrm{CM}$ は、弦に垂直(中心から弦の中点への線は弦と直交する)。この性質が急所だ。

だから弦の傾きは、$\mathrm{CM}$ の傾きの「$-1$ の逆数」。まず $\mathrm{CM}$ の傾きを求める。

$\mathrm{C}(3,1)$、$\mathrm{M}(2,1)$ は $y$ 座標が同じ($\mathrm{CM}$ は水平、傾き $0$)。水平線に垂直なのは鉛直線。だから弦は $\mathrm{M}(2,1)$ を通る鉛直線 $x=2$。

① $\mathrm{CM}$ の向き。 中心 $\mathrm{C}(3,1)$、中点 $\mathrm{M}(2,1)$。$\mathrm{CM}$ は $(2-3,1-1)=(-1,0)$、すなわち水平方向(傾き $0$)。

② 弦の向き。 弦は $\mathrm{CM}$ に垂直だから、水平に垂直 = 鉛直(縦)。$\mathrm{M}(2,1)$ を通る鉛直線は

$$x=2$$

③ 確認。 直線 $x=2$ と円の交点は、$(2-3{)}^2+(y-1{)}^2=10$ より $(y-1{)}^2=9$、$y=4,-2$。端点 $(2,4),(2,-2)$ の中点は $\left(2,\frac{4-2}{2}\right)=(2,1)=\mathrm{M}$。確かに中点が $\mathrm{M}$。

まとめ:弦の中点が与えられたら「中心と中点を結び、それに垂直」が弦の向き。$\mathrm{CM}$ が水平なら弦は鉛直($x=$ 一定)。傾きが $0$ や存在しない(鉛直)場合は、逆数でなく「水平 ⟺ 鉛直」で考えると間違えない。

発展 — 一歩先へ。 「弦の中点 $\mathrm{M}$ での弦 $\perp$ 中心と $\mathrm{M}$ を結ぶ線」は、円の対称性の帰結。中点弦の直線は、点 $\mathrm{M}$ の円に関する“極線”に平行。放物線・楕円・双曲線でも「弦の中点の軌跡」(直径)は同様に扱え、円錐曲線の対称性を反映する。

別解

別解 — 陰関数の微分(または円の接線公式)で弦の傾きを出す(得意な人向けの視点)。 弦の中点 $\mathrm{M}$ での弦の傾きは、円の“極線”の考え方でも出る。中点 $\mathrm{M}(x_1,y_1)$ を弦の中点とする弦の直線は

$$x_{1}x+y_{1}y-\cdots \text{ではなく}(\text{中点弦の公式})(x_1-3)(x-3)+(y_1-1)(y-1)=(x_1-3{)}^2+(y_1-1{)}^2.$$

$\mathrm{M}(2,1)$ を代入すると、$(2-3)(x-3)+(1-1)(y-1)=(2-3{)}^2+0$、すなわち $-(x-3)=1$、$x=2$。

中点弦の直線は「中心と中点を結ぶ線に垂直で、中点を通る」直線で、上の公式はそれを一発で与える。$\mathrm{CM}$ の傾きから垂直を作る本解と同じ $x=2$。$\mathrm{CM}$ が水平($\mathrm{C},\mathrm{M}$ の $y$ 座標が同じ)なので弦は鉛直、と幾何で見ても、公式で計算しても同じ結論だ。