数学II / 図形と方程式

弦の中点と長さ

★★ 標準弦中点

問題

円 $x^{2} + y^{2} = 25$ と直線 $y = x + 1$ の2つの交点を $A$ 、 $B$ とする。弦 $AB$ の中点の座標と、弦 $AB$ の長さを求めよ。

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代入して $2$ 次方程式を作るところまでは共有点の問題と同じ。中点は $2$ 解を個別に求めなくても、和の情報だけで出せることに気づけるか。長さは、傾きの分かっている直線上の $2$ 点だから $x$ 座標の差から伸ばせる。

解答・解説

直線を円に代入して交点の $x$ を出す。2解の平均が中点の $x$ 、それを直線に入れて $y$ 。長さは2交点間の距離。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点を文字のまま扱うのが、この問題の設計だ。直線を円に代入して得る2次方程式の2解が、交点の $x$ 座標である。

中点の $x$ 座標は2解の平均、つまり $\frac{α + β}{2}$ 。解と係数の関係で、解を求めずに出せる。

弦の長さも $∣ α - β ∣$ から組み立てられる。「解を求めない」姿勢が計算を軽くする。

公式弦の中点は、交点の

x

の平均(2次方程式の2解の平均)

$y = x + 1$ を $x^{2} + y^{2} = 25$ に代入する。

$x^{2} + (x + 1)^{2} = 25 \Rightarrow 2 x^{2} + 2 x - 24 = 0 \Rightarrow x^{2} + x - 12 = 0$

因数分解して $(x + 4) (x - 3) = 0$ 、 $x = - 4, 3$ 。交点は $(- 4, - 3)$ 、 $(3, 4)$ 。

中点は $x$ 、 $y$ それぞれの平均。

$(\frac{- 4 + 3}{2}, \frac{- 3 + 4}{2}) = (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

長さは2交点間の距離。

$AB = (3 + 4)^{2} + (4 + 3)^{2} = 49 + 49 = 98 = 72$

弦 AB とその中点

発展 — 一歩先へ。 代数ルートの $∣ α - β ∣$ と幾何ルートの $2 r^{2} - d^{2}$ 。同じ弦の長さの2つの式は、「解と係数の関係」と「三平方の定理」が同じ内容を語れることを示している。

弦の中点の集まり(直線の傾きを変えながら追う)は、中心を通る円になる。軌跡の単元の定番問題として、今日の「中点=垂線の足」の見方がそのまま伏線になっている。

答

中点 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 、長さ $72$

円の対称性を使う幾何ルートなら、2次方程式すら要らない。

弦の中点は、中心から弦へ下ろした垂線の足だ(垂線は弦を二等分する)。中心 $O (0, 0)$ から直線 $y = x + 1$ への垂線は $y = - x$ 。連立して足は $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 。これが中点である。

弦の長さは、三平方の定理で出る。中心から直線までの距離は $d = \frac{1}{2}$ 。半径 $5$ との直角三角形から、弦の半分は

$25 - \frac{1}{2} = \frac{49}{2} = \frac{7}{2}$

よって弦の長さは $2 \times \frac{7}{2} = 72$ 。

「中心・垂線の足・弦の端」の直角三角形は、円の弦の万能装置だ。代数ルート(解と係数)との答えの一致が、そのまま検算になる。