数学II / 図形と方程式

三角形の重心

★ 基礎重心の座標

問題

3点 $A (2, 5)$ 、 $B (- 3, 1)$ 、 $C (4, 0)$ を頂点とする三角形の重心 $G$ の座標を求めよ。

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重心の座標は、 $3$ 頂点の座標から一発で出せるシンプルな関係がある。思い出せなければ、中線を $2 : 1$ に内分する点として計算してもたどり着ける。

解答・解説

方針

重心の座標は、3頂点の $x$ 座標の平均、 $y$ 座標の平均。それだけだ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 重心の座標は、 $3$ 頂点の平均。それだけだ。

$G (\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}, \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})$

$x = \frac{2 + ( - 3 ) + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1, y = \frac{5 + 1 + 0}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$G (1, 2)$

中点が「 $2$ 点の平均」なら、重心は「 $3$ 点の平均」 — 拡張として自然に覚えられる。

この公式は、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ について完全に対称だ。どの頂点を先に書いても答えは同じ。だからこそ「 $3$ 本の中線が $1$ 点で交わる」という事実まで、この式が保証している(別解で説明)。

公式重心の座標

(\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}, \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})

$x$ 座標の平均と $y$ 座標の平均を計算する。

$G (\frac{2 + ( - 3 ) + 4}{3}, \frac{5 + 1 + 0}{3}) = (\frac{3}{3}, \frac{6}{3}) = (1, 2)$

3頂点 A・B・C と重心 G(1,2)

発展 — 一歩先へ。 重心の公式 $\frac{A + B + C}{3}$ は、物理の「質量中心」そのものである。

$3$ 頂点に同じ重さのおもりを置いたとき、全体がつり合う点 — それが重心だ。 $3$ 個の位置の平均をとる、というのは物理でも同じ計算になる。

重さが違ったらどうなるか。 質量 $m_{1}$ 、 $m_{2}$ 、 $m_{3}$ のおもりなら

$G = \frac{m _{1} A + m _{2} B + m _{3} C}{m _{1} + m _{2} + m _{3}}$

重みつき平均になる。数Aで学んだ「質量法(てこの原理)」で三角形の内部の点を扱ったのは、まさにこの式を使っていたのだ。

そして、この形は統計の「平均」とも同じである。

$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$

データの平均も、三角形の重心も、物体の質量中心も、全部おなじ式である。

平均とは「つり合いの点」である。 データの分析で「平均はシーソーの支点」と学んだことと、三角形の重心が「板を支えられる $1$ 点」であることは、まったく同じ数学が語っている。

単元をまたいで、同じ式が顔を出す。 数学を学ぶ楽しさのひとつは、こういう再会にある — 「これ、前にも見た形だ」という感覚を、大事にしたい。

答

$G (1, 2)$

別解

「なぜ平均でよいのか」を、中線の $2 : 1$ から確かめる。 数Aの図形の性質で学んだ事実と、座標がぴったり握手する。

中線を使って、重心を出し直す。

手順1: 辺 $BC$ の中点 $M$ を求める。

$M (\frac{- 3 + 4}{2}, \frac{1 + 0}{2}) = M (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

手順2: 重心は、中線 $AM$ を $2 : 1$ に内分する点。(数Aで学んだ性質。頂点側が $2$ 。)

内分点の公式を使う( $A$ に $1$ 、 $M$ に $2$ の重み)。

$x = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot \frac{1}{2}}{3} = \frac{2 + 1}{3} = 1$

$y = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot \frac{1}{2}}{3} = \frac{5 + 1}{3} = 2$

$G (1, 2) ✓$

平均で出した答えと、完全に一致した。

なぜ一致するのか、式で見る。

$G = \frac{1 \cdot A + 2 \cdot M}{3} = \frac{A + 2 \cdot \frac{B + C}{2}}{3} = \frac{A + B + C}{3}$

$2$ と $\frac{1}{2}$ が約分されて、きれいな平均になった。 「中線を $2 : 1$ に内分」と「 $3$ 点の平均」は、同じことを言っているのだ。

そして、この式の美しさに注目してほしい。

$G = \frac{A + B + C}{3}$

$A$ 、 $B$ 、 $C$ が完全に対等である。どれを入れかえても、式は変わらない(対称式だ)。

この対称性が、重大な事実を証明している。

上の計算では、 $A$ から出る中線を使った。しかし $B$ から出る中線を使っても、 $C$ から出る中線を使っても、まったく同じ計算で同じ $G$ にたどり着く(式が対称だから)。

$⟹ 3 本の中線は、すべて点 G を通る$

「 $3$ 本の中線が $1$ 点で交わる」という、当たり前ではない幾何の定理が、座標の対称式 $1$ 本から出てきた。

これが座標幾何の威力だ。 図形の性質(数A)では、チェバの定理を持ち出して証明したこの事実が、座標では「平均の式が対称だから」の一言で片づく。

幾何の問題を、座標に翻訳する。 そうすると、幾何的なひらめきが要らなくなり、計算だけで答えが出る。デカルトが座標を発明したときの興奮は、まさにここにあった — 図形が、代数の言葉で語れるようになったのである。

検算しておこう。 $AG : GM$ は本当に $2 : 1$ か。

$AG = (2 - 1)^{2} + (5 - 2)^{2} = 10$

$GM = (1 - \frac{1}{2})^{2} + (2 - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{10}{2}$

$AG : GM = 10 : \frac{10}{2} = 2 : 1 ✓$

ポイント

重心=3頂点の平均。 $x$ 、 $y$ 別々に平均する。

よくある間違い

$3$ で割るのを忘れて、座標の和をそのまま答えてしまう
$x$ 座標だけ平均して $y$ 座標を忘れる(両方を平均する)
重心を「中点」と混同する(中点は2点の平均、重心は3点の平均)