原点を通る動直線への距離の最大

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=mx$ は $m$ がどう動いても原点 $\mathrm{O}$ を必ず通る。ここが急所だ。

$\mathrm{A}$ から「原点を通る直線」への距離を考える。垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、$\mathrm{AH}$ は直角三角形 $\mathrm{OHA}$ の1辺で、斜辺は $\mathrm{OA}$。だから距離はどうやっても $\mathrm{OA}$ を超えられない。

そして $\ell \perp \mathrm{OA}$ のとき、垂線の足が $\mathrm{O}$ に一致して距離はちょうど $\mathrm{OA}$。最大値は $\mathrm{OA}$ そのものだ。

① 直線は原点を通る。 $y=mx$ は原点 $\mathrm{O}(0,0)$ を通る。

② 距離は $\mathrm{OA}$ 以下。 $\mathrm{A}$ から直線に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、距離は $\mathrm{AH}$。直角三角形 $\mathrm{OAH}$($\angle \mathrm{H}=90^{\circ }$)で斜辺は $\mathrm{OA}$ だから $\mathrm{AH}\le \mathrm{OA}$。等号は $\mathrm{H}=\mathrm{O}$、すなわち直線が $\mathrm{OA}$ に垂直なとき。

③ 最大値。 $\mathrm{OA}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。よって距離の最大値は $5$。 (このとき $\ell \perp \mathrm{OA}$、$\mathrm{OA}$ の傾きは $\frac{4}{3}$ だから $m=-\frac{3}{4}$。)

まとめ $y=mx$ はすべて原点を通るから、$\mathrm{A}$ からの距離は $\mathrm{OA}=5$ 以下で、直線 $\perp \mathrm{OA}$ のとき最大 $5$。点と直線の距離の公式を使わずに幾何で解ける。図形と方程式(距離・最大)の融合。

発展 — 一歩先へ。 距離が最大 $5$ のとき、直線 $y=-\frac{3}{4}x$ は中心 $\mathrm{A}$・半径 $5$ の円 $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=25$ に接している。この円は原点を通る($\mathrm{OA}=5$)。「原点を通るすべての直線」と「$\mathrm{A}$ 中心の円」の関係で見ると、距離の値域 $[0,5]$ が円の絵から読み取れる。

別解

別解 — 距離を $m$ の式にして値域を出す(計算で押し切るルート)。 点と直線の距離の公式で、$\mathrm{A}(3,4)$ から $mx-y=0$ までの距離は

$$d=\frac{|3m-4|}{\sqrt{m^2+1}}.$$

$k=d^2$ とおいて分母を払うと $(3m-4{)}^2=k(m^2+1)$、整理して $(9-k)m^2-24m+(16-k)=0$。

この $m$ の方程式が実数解をもつ $k$ の範囲が、$d^2$ の取りうる値。$k=9$ のときは1次で解あり。$k\ne 9$ では判別式から

$$144-(9-k)(16-k)\ge 0⟺k(25-k)\ge 0⟺0\le k\le 25.$$

よって $d\le 5$、最大値 $5$($m=-\frac{3}{4}$、$\mathrm{OA}$ と垂直な向きで実現)。

図形の一撃(本解)に対し、こちらは「距離の2乗の値域」を実数解条件で機械的に出す。図が見えないときの保険になる、確実なルートだ。