数学II / 図形と方程式

円と直線が接する条件

★★ 標準円と直線接する条件

問題

円 $x^{2} + y^{2} = 5$ と直線 $y = x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求めよ。

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『接する』を式の言葉に直すと何になるか — 判別式でも、中心からの距離でも表せる。円と直線の組み合わせなら、どちらの計算が軽いか考えて選ぼう。

解答・解説

円と直線が接するのは、中心から直線までの距離が半径にちょうど等しいとき。距離=半径の式を立てて $k$ を求める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円と直線が「接する」の翻訳は2通りある。今回は距離の言葉を使う。

接する ⟺ 中心から直線までの距離が、半径にちょうど等しい。

中心は原点、半径は $5$ 。直線を $x - y + k = 0$ に直して、点と直線の距離の公式で等式を立てれば、 $k$ の方程式になる。

公式円と直線が接する

⟺

中心と直線の距離

=

半径

直線を $x - y + k = 0$ とみる。中心 $O (0, 0)$ からの距離は

$\frac{∣0 - 0 + k ∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{∣ k ∣}{2}$

半径は $5$ 。接する条件は、この距離が半径に等しいこと。

$\frac{∣ k ∣}{2} = 5 \Rightarrow ∣ k ∣ = 10 \Rightarrow k = \pm 10$

半径に等しい距離で接する2本の直線(k=±√10)

発展 — 一歩先へ。 等号を不等号に変えるだけで、位置関係の全分類が手に入る。距離 $<$ 半径なら2点で交わり、 $>$ なら離れる。判別式の正負とぴったり対応する。

「距離」と「判別式」の2つの翻訳は、放物線と直線(距離の公式が使えない)では判別式だけが生き残る。曲線の種類によって使える翻訳が変わることまで見ておくと、道具選びに迷わなくなる。

答

$k = \pm 10$

もう1つの翻訳、「共有点1個 ⟺ 重解 ⟺ 判別式 $0$ 」でも解ける。

直線 $y = x + k$ を円の式に代入して $y$ を消すと

$x^{2} + (x + k)^{2} = 5 ⟹ 2 x^{2} + 2 k x + k^{2} - 5 = 0$

接するのは、この2次方程式が重解を持つとき。判別式で

$\frac{D}{4} = k^{2} - 2 (k^{2} - 5) = - k^{2} + 10 = 0 ⟹ k = \pm 10$

距離ルートと同じ答えだ。

使い分けの目安は、その後の要求で決まる。接するかどうかだけなら距離が速い。接点の座標まで要るなら、判別式ルートの重解 $x = - \frac{k}{2}$ がそのまま接点をくれる。2本の翻訳を、要求に応じて選ぶ。