数学II / 図形と方程式
2点からの距離の比が一定な点の軌跡(アポロニウスの円)
問題
点 からの距離の比が である点 の軌跡を求めよ。
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を距離の 乗の式 に。 の係数がそろい、平方完成すると円。
解答・解説
方針
とし、 を座標で立てる。展開・整理すると円の方程式になる(アポロニウスの円)。
解答
⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「距離の比が一定」の軌跡は、条件を式にするのが第一歩。 とおいて 、すなわち を書く。
根号のままでは扱えない。両辺とも正だから、2乗して としてよい。
あとは座標で展開するだけ。2乗の項が両辺に現れて消し合い、円の方程式が残る。これがアポロニウスの円だ。
① 座標で立てる。 とすると 、。 より 、 ② 整理する。 左辺を展開して ③ 平方完成。
よって軌跡は中心 、半径 の円。
まとめ 距離の比は 乗して多項式の等式に。 の係数がそろって円になる(アポロニウスの円)。中心 、半径 。図形と方程式(軌跡)・距離の融合。
発展 — 一歩先へ。 比を にすると軌跡は線分 の垂直二等分線になる。比 の円は が に近づくほど巨大になり、中心が無限の彼方へ逃げていく — 直線は「半径無限大の円」というわけだ。円と直線を1つの家族として見る視点は、反転や複素数平面の一次分数変換につながっていく。
すなわち を座標で書くと、 乗の項が残り 。中心 、半径 の円。
別解
別解 — 内分点と外分点を直径の両端と見る(得意な人向けの高い視点)。 軌跡の上にある点を、計算の前に2つ見つけられる。線分 上で となる内分点と、延長上でそうなる外分点だ。
内分点は を に内分する ()。外分点は に外分する ()。どちらも比 を満たす。
軌跡は 軸対称だから、この2点は円の直径の両端になるはずだ。中心は中点 、半径は 。本解の と一致する。
計算(本解)が「円になること」を保証し、内分・外分点が「どの円か」を即答する。アポロニウスの円は、内分点と外分点を直径の両端とする円である。
ポイント
- 距離の比は 乗して に。
- 座標で書くと の係数がそろい円になる。
- 平方完成で中心 、半径 。
よくある間違い
- 比の向きを取り違えて と立式する( は の方が長い)。
- 根号のまま変形しようとして進めない(両辺正を確認して2乗する)。
- 展開後、 の係数をそろえてから平方完成しないため中心・半径を誤る。