数学II / 図形と方程式

直線の方程式

★ 基礎直線の方程式

問題

(1) 傾きが $2$ で、点 $(1, 3)$ を通る直線の方程式を求めよ。

(2) 2点 $(- 1, 0)$ 、 $(2, 6)$ を通る直線の方程式を求めよ。

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(1) 傾きと通る点が分かっているときの直線の書き方を思い出そう。(2) は情報が $2$ 点 — まず傾きを自分で作るところから始める。

解答・解説

方針

(1)は「傾きと1点」の公式にそのまま。(2)はまず2点から傾きを出して、あとは同じ公式。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直線を決めるには、傾きと、通る点 $1$ つ — この $2$ つがあればよい。

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

この形( $1$ 点と傾きの公式)が使えれば、直線の問題は $9$ 割片づく。

(1) 傾き $2$ 、点 $(1, 3)$ → そのまま代入する。

$y - 3 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x + 1$

(2) $2$ 点しか与えられていない。傾きを、 $2$ 点から計算する。

$m = \frac{( y の変化 )}{( x の変化 )} = \frac{6 - 0}{2 - ( - 1 )} = \frac{6}{3} = 2$

傾きが出れば、あとは(1)と同じ。 通る点はどちらを使ってもよい( $(- 1, 0)$ が計算は楽だ)。

$y - 0 = 2 (x + 1) ⟹ y = 2 x + 2$

公式傾き

m

、点

(x_{1}, y_{1})

を通る直線

y - y_{1} = m (x - x_{1})

(1) $m = 2$ 、通る点 $(1, 3)$ を入れる。

$y - 3 = 2 (x - 1) \Rightarrow y = 2 x - 2 + 3 = 2 x + 1$

(2) まず傾きを出す。

$m = \frac{6 - 0}{2 - ( - 1 )} = \frac{6}{3} = 2$

点 $(- 1, 0)$ を通るので

$y - 0 = 2 (x + 1) \Rightarrow y = 2 x + 2$

2本の直線 y=2x+1(青)と y=2x+2(赤)は平行

発展 — 一歩先へ。 「 $2$ 点を通る直線は、ただ $1$ 本」— これは幾何の公理(証明せずに認める大前提)である。ユークリッドの『原論』の第 $1$ 公準そのものだ。

では、座標を使うと、この公理はどうなるか。

$2$ 点 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ を通る直線は

$(y_{2} - y_{1}) (x - x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) (y - y_{1})$

この式は、 $x_{1} = x_{2}$ (縦の直線)でも成り立つ( $0 = (x_{2} - x_{1}) (y - y_{1})$ の形で、 $x = x_{1}$ を表す)。分母がないので、場合分けが不要なのだ。

「直線が $1$ 本に決まる」という幾何の公理が、代数では「連立方程式の解が $1$ つに決まる」ことに対応する。

${y_{1} = m x_{1} + k y_{2} = m x_{2} + k$

$m$ 、 $k$ についての連立 $1$ 次方程式。 $x_{1} \neq = x_{2}$ なら、解はただ $1$ 組 — だから直線はただ $1$ 本。

幾何の「公理」が、代数では「定理」になった。 座標を導入すると、図形の性質が計算で証明できるようになる。

デカルトの座標(解析幾何)は、 $2000$ 年続いたユークリッド幾何の世界を、根底から変えた発明だった。「図を描いて、ひらめく」から「座標を置いて、計算する」へ — ひらめきを、手続きに置きかえたのである。

その恩恵を、私たちは毎日受けている。コンピュータグラフィックスも、GPS も、機械学習も、図形を座標(数)に翻訳するという一手の上に成り立っている。

答

(1) $y = 2 x + 1$ (2) $y = 2 x + 2$

別解

直線の表し方には、いくつかの「形」がある。 それぞれの得意分野を知っておくと、問題に応じて最短の道が選べる。そして検算の作法を固めよう。

まず検算。求めた直線に、与えられた点を代入する。

(2)の答え $y = 2 x + 2$ に、 $2$ 点とも入れる。

$x = - 1 : y = - 2 + 2 = 0 ✓ (点 (- 1, 0) を通る)$

$x = 2 : y = 4 + 2 = 6 ✓ (点 (2, 6) を通る)$

両方通った。 $2$ 点を通る直線を求めたら、必ず $2$ 点とも代入して確かめる — $10$ 秒でできる。片方だけ通って安心すると、傾きの計算ミスを見逃す。

直線の $4$ つの表し方。

型1: $y = m x + k$ (傾きと切片)

いちばん馴染みのある形。グラフを描くのに便利。 ただし $y$ 軸に平行な直線( $x = 3$ など)は表せないという弱点がある。

型2: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ( $1$ 点と傾き)

「点を通り、傾きが決まっている」問題に最強。 切片を計算する手間が省ける。接線・平行線・垂線の問題は、ほぼこれで書く。

型3: $a x + b y + c = 0$ (一般形)

すべての直線を表せる( $x = 3$ も $1 \cdot x + 0 \cdot y - 3 = 0$ と書ける)。点と直線の距離の公式は、この形でないと使えない。

型4: $2$ 点を通る直線の公式

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

$2$ 点 $(- 1, 0)$ 、 $(2, 6)$ なら

$\frac{y - 0}{6 - 0} = \frac{x + 1}{2 + 1} ⟹ \frac{y}{6} = \frac{x + 1}{3} ⟹ y = 2 (x + 1) = 2 x + 2 ✓$

傾きを別に計算しなくてよいのが利点。ただし分母が $0$ になる( $x_{1} = x_{2}$ の)ときは使えない。

どの形を選ぶか。

状況	最適な形
グラフを描く	$y = m x + k$
点と傾きが分かっている	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$
点と直線の距離を求める	$a x + b y + c = 0$
$y$ 軸に平行な直線がありうる	$a x + b y + c = 0$

「 $y$ 軸に平行」の見落としが、事故のもと。 たとえば「点 $(2, 3)$ を通り、円に接する直線」を求めるとき、 $y = m (x - 2) + 3$ とだけ置くと、 $x = 2$ という接線を取りこぼすことがある。 $y = m x + k$ の形は、 $1$ つだけ表せない直線があることを、いつも頭の隅に置いておきたい。

ポイント

「傾き+1点」→ $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 。
2点が与えられたら、まず傾き $\frac{y の差}{x の差}$ 。

よくある間違い

傾きの計算で $x$ の差と $y$ の差を逆にする(傾きは $y$ の差 $\div$ $x$ の差)
(2)で傾きを出したあと、通る点を代入し忘れて切片を決めない
$y = m x + k$ の形では $y$ 軸に平行な直線( $x = 3$ など)が表せないことを忘れる