点と直線の距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 点と直線の距離には、公式がある。

$$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

使う前に、直線を $ax+by+c=0$ の形(一般形)にしておく。 今回は最初からその形だ。

$$3x-4y+1=0,(x_0,y_0)=(2,3)$$

分子: 点の座標を、直線の式に代入して絶対値。

$$|3\cdot 2-4\cdot 3+1|=|6-12+1|=|-5|=5$$

分母: 係数の $2$ 乗和の平方根。

$$\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{25}=5$$

$$d=\frac{5}{5}=1$$

分子の絶対値を忘れない。 距離は必ず正だから、$-5$ のままにしてはいけない。

① 公式の意味を一言で。 直線 $ax+by+c=0$ にとって $(a,b)$ は直線と垂直な向き(法線)。$|a{x}_0+b{y}_0+c|$ は点が直線からどれだけ離れているかに比例した量で、それを法線の長さ $\sqrt{a^2+b^2}$ で割ると、ちょうど点から直線へ下ろした垂線の長さ(＝距離)になる。だから分母に $\sqrt{a^2+b^2}$ が要る。

② 当てはめる。 $a=3$、$b=-4$、$c=1$、点 $(2,3)$。

$$d=\frac{|3\cdot 2+(-4)\cdot 3+1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|6-12+1|}{\sqrt{25}}=\frac{|-5|}{5}=1$$

まとめ:点と直線の距離は「垂線の長さ」。分子 $|a{x}_0+b{y}_0+c|$ を法線の大きさ $\sqrt{a^2+b^2}$ で割ると、その垂線の長さになる、という仕組みだ。

発展 — 一歩先へ。 点と直線の距離の公式は、「絶対値」を外すと符号がつく。

$$\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

この符号つきの量を「符号つき距離」といい、点が直線のどちら側にあるかを教えてくれる。

• 正 → 直線の一方の側
• $0$ → 直線上
• 負 → もう一方の側

この性質が、領域の問題(数IIの「軌跡と領域」)の土台になる。 $ax+by+c>0$ という不等式が「直線の片側」を表すのは、まさにこの符号のおかげだ。

そして、機械学習の分類器も、この符号で動いている。

「メールがスパムか否か」「画像が猫か犬か」を判定する最も基本的な手法(サポートベクターマシン)は、データ点を空間に配置し、直線(高次元では超平面)で $2$ つに切り分ける。

$$w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +b>0⟹\text{クラスA}$$ $$<0⟹\text{クラスB}$$

そして「どの直線が最良か」を決める基準が、まさに"点と直線の距離"だ。 両クラスから最も遠い(マージンが最大の)直線を選ぶ — この最適化が、SVM の核心である。

高校で学ぶ $\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ が、そのまま人工知能の中で動いている。

「点と直線の距離」は、単なる計算問題ではない。 「データをどう分けるか」という現代的な問いに、直接つながっている。

別解

公式を使わず、垂線の足を実際に求めて距離を測る。 遠回りだが、公式の意味が分かるし、「垂線の足の座標」自体を聞かれたときにも使える。

手順1: 垂線の方程式を作る。

直線 $3x-4y+1=0$ の傾きは $\frac{3}{4}$($y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ と変形すれば分かる)。

垂直な直線の傾きは $-\frac{4}{3}$。 これが点 $(2,3)$ を通る。

$$y-3=-\frac{4}{3}(x-2)$$

手順2: 交点(垂線の足 $\mathrm{H}$)を求める。

$2$ 式を連立して解く。$y=3-\frac{4}{3}(x-2)$ を、元の直線に代入すると

$$3x-4\left\{3-\frac{4}{3}(x-2)\right\}+1=0$$

$$3x-12+\frac{16}{3}(x-2)+1=0$$

$3$ 倍して整理すると

$$9x-36+16x-32+3=0⟹25x=65⟹x=\frac{13}{5}=2.6$$

$$y=3-\frac{4}{3}(0.6)=3-0.8=2.2$$

垂線の足は $\mathrm{H}(2.6,2.2)$。

手順3: $2$ 点間の距離を計算する。

$$d=\sqrt{(2.6-2{)}^2+(2.2-3{)}^2}=\sqrt{0.36+0.64}=\sqrt{1}=1✓$$

公式と同じ答えが出た。

手間を比べてほしい。 公式なら $10$ 秒、垂線ルートなら $3$ 分。公式のありがたみが身にしみる。

しかし、垂線ルートにしかできないこともある。

• 垂線の足の座標そのものを聞かれたとき($\mathrm{H}(2.6,2.2)$)
• 対称点を求めるとき(点 $\mathrm{A}$ の対称点 ${\mathrm{A}}^{\prime }$ は、$\mathrm{H}$ を中点とする点だから ${\mathrm{A}}^{\prime }=2\mathrm{H}-\mathrm{A}=(3.2,1.4)$)
• 直線への正射影を考えるとき

公式は「距離」だけを教えてくれる。垂線ルートは「どこに落ちるか」まで教えてくれる。

そして、公式の意味も見えてくる。 分子 $|3x_0-4y_0+1|$ は「点を代入したときの、式のズレ具合」だ。直線上の点なら $0$、離れるほど大きくなる。

分母 $\sqrt{a^2+b^2}$ は、そのズレを「実際の距離」に換算するための係数である($3x-4y+1=0$ と $6x-8y+2=0$ は同じ直線だが、代入値は $2$ 倍になる — だから係数の大きさで割って、正規化する必要がある)。

「式の値のズレ」を「幾何的な距離」に翻訳する装置 — それが点と直線の距離の公式だ。