数学II / 図形と方程式

2円の共通弦

★★★ 応用2円の交点弦

問題

2つの円 $x^{2} + y^{2} = 25$ と $(x - 8)^{2} + y^{2} = 25$ の共通弦の長さを求めよ。

ヒントを見る

共通弦が乗っている直線は、 $2$ 円の式から交点を求めずに直接取り出せる。取り出せたら、あとは片方の円で弦の長さを測る問題に変わる。

解答・解説

2円の式を引き算すると、共通弦を含む直線が出る。その直線と一方の円との交点を求めれば、共通弦の両端がわかる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 共通弦の長さを、 $2$ 段階で求める。まず共通弦がどの直線に乗っているかを出す。次にその直線と一方の円で、弦の長さを測る。

共通弦を含む直線は、 $2$ 円の式を引くと出る。両端は $2$ 円の交点で、どちらの円の上にもあるからだ。引くと $x^{2}$ 、 $y^{2}$ が消えて直線が残る。

「 $2$ 円の差で直線を得る」と「弦を三平方で測る」という $2$ つの既習の技を連結する。総合問題だ。

重要2円の式を引くと共通弦の直線 → 円に代入して弦の端点を求める

① なぜ引き算が共通弦になるのか。 共通弦の両端は2円の交点で、どちらの円の上にもある。だから2つの円の式を両方満たし、その差の式も交点で $0$ になる。引くと $x^{2}$ ・ $y^{2}$ が消えて直線になるので、これが2交点を通る直線＝共通弦を含む直線だ。

② 2式を引く。

$(x^{2} + y^{2} - 25) - {(x - 8)^{2} + y^{2} - 25} = 0$

$x^{2} - (x - 8)^{2} = 0 \Rightarrow 16 x - 64 = 0 \Rightarrow x = 4$

③ 弦の端点を求める。 共通弦は直線 $x = 4$ 上。これを1つ目の円 $x^{2} + y^{2} = 25$ に代入する。

$16 + y^{2} = 25 \Rightarrow y^{2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3$

弦の両端は $(4, 3)$ 、 $(4, - 3)$ 。長さは

$(4 - 4)^{2} + (3 - (- 3))^{2} = 0 + 36 = 6$

2円の共通弦は x=4 上、両端(4,±3)で長さ6

まとめ:共通弦の両端は両方の円の上にあるから、2円を引いた式(直線)が共通弦を含む。あとはその直線を円に代入して端点を求め、距離をとれば弦の長さが出る。

発展 — 一歩先へ。 $2$ 円の式を引いて得た直線 $x = 4$ を、 $2$ 円の根軸(radical axis)という。ある点から $2$ つの円それぞれへの方べき(power)が等しくなる、その点の集まりだ。

根軸は $2$ 円が交わらなくても定まる。そのときは共通弦ではなく、 $2$ 円の外にある直線になる。 $2$ 円が交わるいまの場合だけ、根軸が共通弦を含む直線と一致する。

根軸はつねに $2$ 中心を結ぶ線に垂直だ。いまは半径が等しいので、根軸は $2$ 中心の垂直二等分線( $x = 4$ )にもなっている。方べきで $2$ 円の位置関係を測る、その入り口が根軸だ。

答

$6$

別解 — 図の対称性と三平方で測る(図でつかむルート)。 式を引かず、図の形から攻める。 $2$ 円は半径がどちらも $5$ で等しく、中心は $(0, 0)$ と $(8, 0)$ 。共通弦は $2$ 中心を結ぶ線分に垂直で、しかもそれに二等分される。

半径が等しいから、共通弦は $2$ 中心のちょうど真ん中を通る。 $2$ 中心の中点は $(4, 0)$ なので、片方の中心 $(0, 0)$ から共通弦までの距離は $4$ 。

弦の半分・半径・中心距離が直角三角形を作る。半弦の長さは $5^{2} - 4^{2} = 9 = 3$ 。共通弦はその $2$ 倍で $6$ 。

$2$ 円の式を引く本解に対し、こちらは「等しい半径だから弦は真ん中」という対称性で弦の位置を出す。同じ長さ $6$ に着く。