数学II / 図形と方程式

2円の交点を通る直線(根軸)

実戦編図形と方程式円根軸連立単元横断

問題

$2$ 円 $x^{2} + y^{2} = 4$ と $(x - 3)^{2} + y^{2} = 4$ は $2$ 点で交わる。その $2$ つの交点を通る直線の方程式を求めよ。

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$2$ 円の式を引き算すると $x^{2}, y^{2}$ が消える。残る $1$ 次式は、両方の円上にある点(=交点)が満たすので、交点を通る直線。

解答・解説

方針

$2$ 円の方程式を $(= 0)$ の形にして辺々引く。 $x^{2}, y^{2}$ が消えて $1$ 次方程式になり、それが $2$ 交点を通る直線(根軸)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2つの交点の座標を先に求めてから直線を出す、は遠回りだ(交点には根号が入る)。

見方を変える。交点は両方の円の方程式を満たす。だから、2円の式を辺々引いた式も必ず満たす。

2円の式はどちらも $x^{2} + y^{2}$ を含む。引けば2乗の項が消えて1次方程式=直線になる。その直線が2つの交点をともに通る。これが根軸だ。

重要

2

円の方程式を辺々引くと

x^{2}, y^{2}

の項が消え、交点を通る直線(根軸)の式になる

① 方程式を $= 0$ に。 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 = 0, C_{2} : (x - 3)^{2} + y^{2} - 4 = x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0.$ ② 辺々引く。 $C_{1} - C_{2}$ を作ると $(x^{2} + y^{2} - 4) - (x^{2} + y^{2} - 6 x + 5) = 0 ⟹ 6 x - 9 = 0.$ ③ 直線。 $6 x - 9 = 0$ 、すなわち $x = \frac{3}{2}$ 。これが $2$ 交点を通る直線である。

(検算: $x = \frac{3}{2}$ を $C_{1}$ に入れると $y^{2} = 4 - \frac{9}{4} = \frac{7}{4}$ 、 $y = \pm \frac{7}{2}$ 。この2点は $C_{2}$ も満たす。)

2円(ともに半径2)の交点を通る直線(根軸)は、2式を引くと出る x=3/2。交点は (3/2, ±√7/2)。

まとめ 交点は両方の円の式を満たすから、引き算した1次式(根軸)も満たす。2乗が消えて $x = \frac{3}{2}$ 。交点そのものを求めずに、交点を通る直線だけが先に出る。

発展 — 一歩先へ。 3つの円があると、2円ずつの根軸が3本引ける。この3本は必ず1点(根心)で交わる。また2円が接する場合、根軸は接点を通る共通接線になる。交わっても、接しても、離れていても、引き算の直線(根軸)はいつでも意味をもつ。

答

$2$ 円の方程式を辺々引くと $2$ 乗の項が消え、 $1$ 次方程式 $6 x - 9 = 0$ 、すなわち $x = \frac{3}{2}$ 。これが交点を通る直線(根軸)。

別解

別解 — 「接線の長さが等しい点」の直線と読む(得意な人向けの高い視点)。 点 $P$ から中心 $C$ ・半径 $r$ の円への接線の長さは、三平方の定理で $PC^{2} - r^{2}$ 。この根号の中身 $PC^{2} - r^{2}$ は、円の式( $= 0$ 形)の左辺に $P$ を代入した値そのものだ。

だから引き算の式 $C_{1} - C_{2} = 0$ は、「2つの円への $PC^{2} - r^{2}$ が等しい点の集合」を表す。円の外側で言えば、2円への接線の長さが等しい点の集まりである。

実際、根軸 $x = \frac{3}{2}$ 上の点 $(\frac{3}{2}, 3)$ で確かめると、どちらの円でも $PC^{2} - r^{2} = \frac{9}{4} + 9 - 4 = \frac{29}{4}$ と一致する。

もう1つの見方もある。いまは2円の半径が等しいから、根軸は2つの中心 $(0, 0), (3, 0)$ の垂直二等分線になるはずで、それがまさに $x = \frac{3}{2}$ 。「2乗が消える計算の偶然」に見えた引き算に、図形の意味が2つも付いた。

ポイント

交点は両方の円の式を満たす → 引いた式も満たす。
引くと $x^{2}, y^{2}$ が消えて $1$ 次式(直線)。
根軸は $6 x - 9 = 0$ 、すなわち $x = \frac{3}{2}$ 。交点は $(\frac{3}{2}, \pm \frac{7}{2})$ 。

よくある間違い

交点の座標を先に連立で求めようとして、根号入りの計算で時間を失う(引き算なら1行)。
$(x - 3)^{2} + y^{2} - 4$ を $= 0$ 形に展開するときの定数( $9 - 4 = 5$ )を誤り、根軸の位置がずれる。
「引いた直線が交点を通る」理由(交点は両方の式を満たすから、差も満たす)を一言添えず、根拠のない操作になる。