2円が接する条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「2円が接する」と言われたら、場合が2つあることを最初に思い出す。外側で接する(外接)と、内側で接する(内接)だ。

どちらも中心間距離だけで判定できる。外接なら距離が半径の和に、内接なら半径の差に等しい。

本問の中心は $(0,0)$ と $(a,0)$ で、距離は $|a|$。半径は $1$ と $2$。あとは $|a|=3$ と $|a|=1$ を解くだけで、符号もこめて4つの $a$ が出る。

① 中心間距離と半径。 中心 $(0,0),(a,0)$ より距離 $d=|a|$。半径は $r_1=1,r_2=2$。

② 外接。 $d=r_1+r_2$:

$$|a|=1+2=3⟺a=\pm 3$$

③ 内接。 $d=|r_1-r_2|$:

$$|a|=|2-1|=1⟺a=\pm 1$$

よって $a=\pm 1,\pm 3$。

まとめ:接する=外接 or 内接の2通りを、中心間距離 $=$ 半径の和/差で立式するのが急所。$|a|$ から符号 $\pm$ を取り出して4値。「接する」を1通りだと思い込むと $a=\pm 1$ を落とす。

発展 — 一歩先へ。 $|a|$ を $0$ から増やすと、内包(共有点なし)→ 内接 → 2点で交わる → 外接 → 外離れ、と位置関係が一列に遷移する。境目が $|a|=|r_1-r_2|=1$ と $|a|=r_1+r_2=3$。2円の位置関係5種は、中心間距離の数直線にこの2つの目盛りを打てば全部整理できる。

別解

2式を引いて共有点を数える(代数ルート)。 外接・内接の図が思い浮かばなくても、「接する $=$ 共有点がちょうど1個」を連立方程式で直接押さえられる。

2円の式を辺々引くと($a\ne 0$。$a=0$ は同心円で接しない)

$$-2ax+a^2=3⟹x=\frac{a^2-3}{2a}$$

共有点はすべてこの縦線の上にある。縦線 $x=c$ と円 $x^2+y^2=1$ の共有点は $|c|<1$ で2個、$|c|=1$ で1個、$|c|>1$ で0個。だから接する条件は

$$\frac{a^2-3}{2a}=\pm 1⟺a^2\mp 2a-3=0$$

$a^2-2a-3=0$ から $a=3,-1$。$a^2+2a-3=0$ から $a=-3,1$。合わせて $a=\pm 1,\pm 3$ で本解と一致する。

外接・内接という図形の場合分けが、$\pm 1$ という代数の記号に自動で吸収される。検算にも使えるルートだ。