図形と方程式の解説
文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月2日
図形と方程式は、座標平面の上で点・直線・円を式で扱う単元です。数学Aの図形の性質が「定理で解く幾何」なら、この単元は「計算で解く幾何」で、どんな図形の問題も座標を置けば計算に落とせる、という強力な道具を手に入れます。この記事では、この単元で使う公式を「点」「直線」「円」の3つに整理し、公式を選ぶ判断と、計算量を減らす工夫を説明します。
点に関する公式
2点間の距離は三平方の定理、内分点・外分点は「比の重みつき平均」、重心は3頂点の平均です。この3つは、それぞれ2点間の距離、内分点・外分点・中点、三角形の重心で確認できます。
外分点の公式は内分点の公式で を にしたものなので、別々に覚える必要はありません。「 に外分」を「 に内分」と読み替えると、符号の間違いが減ります。
直線に関する公式
直線の方程式は、「傾きと通る1点」があれば で書けます。2点を通る直線は、傾きを先に求めてこの形にします。平行なら傾きが等しく、垂直なら傾きの積が です。直線の方程式と平行・垂直な直線で基本を、標準の3直線が1点で交わる条件で「2直線の交点を第3の直線に代入する」手順を確認してください。
点と直線の距離 は、この単元で最も使用頻度の高い公式です。円と直線の位置関係(中心と直線の距離を半径と比べる)、弦の長さ、三角形の高さ、接する条件、すべてこの公式に帰着します。点と直線の距離で覚えたら、円と直線の共有点、弦の長さ、標準の円と直線が接する条件で、「判別式より距離を使うほうが速い」ことを実感してください。
直線に関する対称点は、「中点が直線上にある」「結ぶ線分が直線と垂直」の2条件で連立します。対称な点と標準の直線に関する対称点で型を固め、応用の対称点を使う最短経路で、光の反射と同じ「折り返して直線で結ぶ」考え方を使います。
円に関する公式
円の方程式は、中心と半径がわかっていれば 、3点を通る条件から求めるなら一般形 に代入して連立します。円の方程式と標準の3点を通る円で、どちらの形で置くかの判断を練習してください。
円上の点における接線は の形(原点中心の場合)で、円外の点から引く接線は「接点をおいてこの式に通す」か「傾きをおいて中心との距離が半径になる条件を使う」かの2通りです。円上の点における接線と応用の円外の点からの接線で、両方の方法を見比べてください。
2つの円については、中心間の距離と半径の和・差を比べて位置関係を判定します。2円の方程式の差をとると、交点を通る直線(共通弦)が出る、という技術は、応用の2円の共通弦と、実戦編の根軸で扱います。
つまずきやすいところ
計算が長くなる単元なので、「どう置けば計算が短いか」で差がつきます。三角形の問題なら、1つの頂点を原点に、1辺を 軸に置く。円の問題なら、中心を原点に置く。この「座標の置き方」で、式の複雑さが数倍変わります。
もう1つは、直線の方程式で「傾きが存在しない場合( 定数)」を落とすことです。「傾きを とおく」と決めた時点で、 軸に平行な直線を除外しています。答えが1本しか出なかったら、 定数の直線が条件を満たさないかを確かめてください。応用の円外の点からの接線は、この見落としが起きやすい典型です。
「通る定点」と「束」の考え方
を含む直線 は、 の値によらず、2直線 と の交点を通ります。「 について整理して、 の係数と定数項がともに0になる点を探す」という手順で定点が求まります(標準の直線が通る定点、難関のkによらず通る定点)。
同じ考え方で、2つの円の方程式を 、 として を作ると、2円の交点を通る図形(円または直線)の族(束)が得られます。 で と が消えて共通弦の直線になり、それ以外の では交点を通る円になります。応用の2円の交点を通る円と2円の共通弦は、この束の応用です。交点の座標を求めずに、交点を通る図形が書ける、というのが束の強みです。
学習の順序と入試での出方
基礎12問は、距離・分点・重心・直線・平行垂直・点と直線の距離・円・円と直線・接線・弦・交点・対称点の順で、公式を1つずつ確認します。標準12問で、面積、対称、3直線、3点を通る円、接する条件、接線の長さ、2円、定点を扱い、応用8問で最短経路、接線、2円の交点を通る円、距離の最大、外接円へ進みます。
この単元のすべての問題に座標平面の図を付けてあります(すべて解答側にあり、問題文には図がありません。座標だけで図形が決まるからです)。解説の図で、「どこに座標を置いたか」を確かめてください。
入試では、この単元は次の「軌跡と領域」と一体で出題されます。実戦編と最難関編には、アポロニウスの円、直線の通過領域、円上での1次式の最大、タレスの円など、軌跡と領域の入り口になる問題を置きました。