数学II / 図形と方程式

3点を通る円

★★ 標準円の方程式

問題

3点 $(0, 0)$ 、 $(4, 0)$ 、 $(0, 2)$ を通る円の方程式を求めよ。

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$3$ つの通過点の条件を扱いやすいのは、円の標準形と一般形のどちらだろう。通る点に原点が含まれていることが、計算をぐっと軽くしてくれる。

解答・解説

円を一般形 $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ とおき、3点をそれぞれ代入する。3つの式を連立して $l$ 、 $m$ 、 $n$ を決める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3点を通る円は、一般形 $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ に3点を代入するのが正攻法だ。

未知数3つに、条件(通る点)3つ。ちょうど釣り合った連立ができる。

$(0, 0)$ を含むおかげで $n = 0$ が即座に出て、残りは2元連立。代入する順番で計算量が変わることも覚えておきたい。

公式円の一般形

x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0

。3点を代入して

l, m, n

を連立で求める

$(0, 0)$ を代入すると $n = 0$ 。

$(4, 0)$ を代入すると $16 + 4 l = 0$ 、 $l = - 4$ 。

$(0, 2)$ を代入すると $4 + 2 m = 0$ 、 $m = - 2$ 。

よって円は $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = 0$ 。平方完成して標準形にする。

$(x - 2)^{2} - 4 + (y - 1)^{2} - 1 = 0 \Rightarrow (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$

中心 $(2, 1)$ 、半径 $5$ 。

3点を通る円、中心(2,1)・半径√5

発展 — 一歩先へ。 一般形と標準形の使い分けは明快だ。通る点の条件なら一般形(代入が1次式で済む)、中心・半径の条件なら標準形。条件の種類が式の形を選ぶ。

3点を通る円は、三角形の外接円でもある。別解の「直角なら斜辺が直径」は、直角三角形の外心が斜辺の中点にあるという数学Aの事実の座標版だ。図形の性質と座標計算は、いつでも互いの近道になり合う。

答

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$

この3点の配置には、連立を丸ごと省略できる仕掛けが隠れている。

$(4, 0)$ は $x$ 軸上、 $(0, 2)$ は $y$ 軸上。つまり原点で、2辺が直角に交わっている。

円周角の定理の逆(直角を見込む2点は直径の両端)から、直角の対辺 — $(4, 0)$ と $(0, 2)$ を結ぶ線分 — がこの円の直径だ。

だから中心は直径の中点 $(2, 1)$ 、半径の2乗は中心から原点までで $2^{2} + 1^{2} = 5$ 。

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$

「3点の配置をまず眺める」ひと呼吸が、連立3本を暗算1回に変えた。直角・等距離・対称性など、図形的な特徴が見えた瞬間に計算は軽くなる。座標の問題でも図形の目を手放さないこと。