2円の交点と原点を通る円

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 円の交点を通る円は、円束(2円の式の線形結合)で表せる。交点を求めずに済む強力な手だ。

$(x^2+y^2-5)+k(x^2+y^2-4x-2y+3)=0$ の形。この式は、$k$ がどんな値でも $2$ 交点を通る(両方の円の式が $0$ になる点だから)。

原点 $(0,0)$ を通る条件を代入する。$-5+3k=0$ から $k=\frac{5}{3}$。これを代入し、$x^2+y^2$ の係数で割って整理すれば、求める円の式が出る。

① 束をおく。 $f=x^2+y^2-5$、$g=x^2+y^2-4x-2y+3$ として

$$(x^2+y^2-5)+k(x^2+y^2-4x-2y+3)=0$$

② 原点を通る条件。 $(x,y)=(0,0)$ を代入:$(-5)+k(3)=0$、$k=\frac{5}{3}$。

③ 代入して整理する。 $k=\frac{5}{3}$ を入れ、全体を $3$ 倍する。

$$3(x^2+y^2-5)+5(x^2+y^2-4x-2y+3)=0$$ $$8x^2+8y^2-20x-10y+0=0$$

両辺を $8$ で割って

$$x^2+y^2-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}y=0$$

まとめ:$2$ 円の交点を通る円は「束 $f+kg=0$」で表し、追加条件で $k$ を決める。交点を求めずに済むのが強み。定数項が消えて原点を通る形になり、確かに $(0,0)$ を通る。

発展 — 一歩先へ。 $2$ 円 $C_1,C_2$ の $1$ 次結合 $C_1+k{C}_2=0$ は、$2$ 交点を通る図形の族(円束)。$k=-1$ で $x^2+y^2$ が消えて直線(根軸)になる。$3$ 番目の条件(原点通過)で $k$ が $1$ つに定まる。円束は、$2$ 円の交点を通る円・直線をパラメータ $1$ つで統一的に扱う強力な道具だ。

別解

別解 — 根軸(交点を通る直線)を経由する(得意な人向けの視点)。 $2$ 円の式を引くと、交点を通る直線(根軸)が出る。$(x^2+y^2-5)-(x^2+y^2-4x-2y+3)=4x+2y-8=0$、すなわち $2x+y-4=0$。$2$ 交点はこの直線上にある。

求める円は「$2$ 交点 $+$ 原点」を通る。$2$ 交点を通る円は、片方の円と根軸の線形結合 $(x^2+y^2-5)+m(2x+y-4)=0$ でも表せる。原点 $(0,0)$ を代入すると $-5+m(-4)=0$、$m=-\frac{5}{4}$。

$$x^2+y^2-5-\frac{5}{4}(2x+y-4)=x^2+y^2-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}y-5+5=x^2+y^2-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}y=0.$$

円束(本解)は $2$ 円の結合、こちらは「$1$ 円 $+$ 根軸」の結合。どちらも $2$ 交点を通る図形の族を作り、原点条件で $1$ つに絞る。根軸を経由すると、係数が $2$ 次でなく $1$ 次で扱いやすい。