直線が通る定点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「どんな $k$ でも通る」は、$k$ についての恒等式の問題だ。

式を $k$ について整理する。$k(x+y-2)+(x-y)=0$。

これがすべての $k$ で成り立つには、$k$ の係数と残りが両方 $0$、つまり $x+y-2=0$ かつ $x-y=0$。連立して $(1,1)$。「変数は $x,y$ でなく $k$」という主役の交代が、この型の急所である。

$k$ について整理する。

$$k(x+y-2)+(x-y)=0$$

これがどんな $k$ でも成り立つには、$k$ の係数と、残りの部分がともに $0$。

$$x+y-2=0,x-y=0$$

2式を解くと、$x-y=0$ から $x=y$、$x+y-2=0$ に入れて $2x=2$、$x=1$。よって $x=y=1$。

定点は $(1,1)$。

発展 — 一歩先へ。 $k(x+y-2)+(x-y)=0$ という整理後の形は、2直線 $x+y=2$ と $x=y$ の交点を通る直線の束そのものだ。$k$ を動かすと、直線が定点 $(1,1)$ を軸にくるくる回る。定点問題と束は同じ現象の表裏である。

円の式に文字が入った「どんな $k$ でも通る定点を持つ円の族」も、まったく同じ $k$ 整理で解ける。軌跡と領域の単元で、この型は主役級として再登場する。

別解

先に「実験」で候補を捕まえ、あとから検証する2段ルートも実戦的だ。

定点はどの $k$ の直線にも乗っている。なら、$k$ を2つ選んで交点を出せば、それが候補になるはずだ。

• $k=1$: $2x-2=0$、つまり $x=1$
• $k=-1$: $-2y+2=0$、つまり $y=1$

2直線の交点は $(1,1)$。これが唯一の候補だ。

検証として一般の $k$ で代入する。$(k+1)+(k-1)-2k=0$。確かにすべての $k$ で成立し、$(1,1)$ が定点と確定する。

「特殊な場合で当たりをつけ、一般で確かめる」という探索と証明の分業は、定点・定値問題全般で使える構えだ。計算しやすい $k$($係数が消える値$)を選ぶのが腕の見せどころである。