数学II / 図形と方程式

円上での1次式の最大(円と直線が接する条件)

実戦編図形と方程式最大・最小円点と直線の距離単元横断

問題

点 $(x, y)$ が円 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上を動くとき、 $2 x + y$ の最大値を求めよ。

ヒントを見る

$2 x + y = k$ は傾き一定の直線の族。円上の点で実現する $k$ は、直線が円と共有点をもつ範囲。中心から直線までの距離 $\leq$ 半径。

解答・解説

方針

$2 x + y = k$ を直線とみて、円と共有点をもつ $k$ の範囲を求める。中心(原点)から直線までの距離が半径以下、という条件で $k$ が決まる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「円上で $2 x + y$ の最大」は、 $2 x + y = k$ という直線の族を考えるのが定石破りでなく王道だ。値 $k$ が実現する $⟺$ 直線 $2 x + y = k$ が円と共有点をもつ。

$k$ を大きくすると直線は右上へ平行移動していく。ぎりぎり円に触れる瞬間が最大だ。

「共有点をもつ」は、中心から直線までの距離 $\leq$ 半径、で判定できる。距離の公式に流し込めば $k$ の範囲が出る。

公式点

(x_{0}, y_{0})

と直線

a x + b y + c = 0

の距離

\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

① 直線族とみる。 $2 x + y = k$ 、すなわち $2 x + y - k = 0$ 。円 $x^{2} + y^{2} = 5$ は中心 $(0, 0)$ 、半径 $5$ 。

② 共有点をもつ条件。 中心 $(0, 0)$ から直線 $2 x + y - k = 0$ までの距離が半径以下: $\frac{∣ - k ∣}{2 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣ k ∣}{5} \leq 5 ⟹ ∣ k ∣ \leq 5.$

円 x²+y²=5 と直線 2x+y=k。k を大きくすると直線が平行に動き、接するとき(k=5)が最大。

③ 最大。 $- 5 \leq k \leq 5$ で、 $2 x + y$ の最大は $k = 5$ (直線が円に接するとき)。

まとめ $2 x + y = k$ を直線族とみて、円と接する( $k$ が限界)条件を「中心と直線の距離 $=$ 半径」で書くと $∣ k ∣ \leq 5$ 、最大 $5$ 。図形と方程式(円・最大)・距離の融合。コーシー・シュワルツ $∣2 x + y ∣ \leq 5 x^{2} + y^{2} = 5$ でも同じ。

発展 — 一歩先へ。 コーシー・シュワルツの不等式 $(2 x + y)^{2} \leq (2^{2} + 1^{2}) (x^{2} + y^{2})$ を使えば、 $(2 x + y)^{2} \leq 5 \cdot 5 = 25$ が一行で出る。一般に半径 $r$ の円上での $a x + b y$ の最大は $r a^{2} + b^{2}$ 。「接する」「合成」「シュワルツ」の3通りが同じ値を指す。

答

$2 x + y = k$ とおくと直線。円と共有点をもつ( $k$ が実現する)条件は、中心と直線の距離 $\frac{∣ k ∣}{5} \leq 5$ 、すなわち $∣ k ∣ \leq 5$ 。最大は $5$ 。

別解

別解 — 円を三角関数で歩く(単元横断の置き換えルート)。 円 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上の点は $x = 5 cos θ$ 、 $y = 5 sin θ$ と書ける。代入すると

$2 x + y = 5 (2 cos θ + sin θ) .$

かっこの中は三角関数の合成で $2^{2} + 1^{2} sin (θ + α) = 5 sin (θ + α)$ 。よって

$2 x + y = 5 sin (θ + α) \leq 5.$

最大値 $5$ 。等号は $sin (θ + α) = 1$ のときで、点 $(2, 1)$ で実現する( $2 \cdot 2 + 1 = 5$ 、 $2^{2} + 1^{2} = 5$ で円上)。

「接する」(本解)を使わず、円を1変数 $θ$ で歩き切って三角関数の最大値に帰着させた。円のパラメータ表示は、円上の最大最小をいつでも1変数の問題に変える。

ポイント

$2 x + y = k$ を平行な直線族とみる。
円と共有点をもつ( $k$ が実現する) $⟺$ 中心と直線の距離 $\leq$ 半径。
$\frac{∣ k ∣}{5} \leq 5$ より $∣ k ∣ \leq 5$ 、最大 $5$ 。

よくある間違い

円上の代表的な点(軸上の4点など)だけ代入して最大と思い込む。
点と直線の距離の分母 $2^{2} + 1^{2} = 5$ を落とす、または直線を $2 x + y - k = 0$ の形にせず符号が乱れる。
最大値だけ出して、実現する点 $(2, 1)$ を確かめない(接点の検算で係数ミスに気づける)。