対称な点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対称移動は、図を描けば一瞬で分かる。公式を覚える前に、絵で確かめよう。

(1) $x$ 軸に関して対称 — 鏡を $x$ 軸に置いて、上下をひっくり返す。

$x$ 座標は動かない。$y$ 座標だけが符号反転する。

$$\mathrm{A}(3,2)⟶(3,-2)$$

(2) 直線 $y=x$ に関して対称 — 斜め $45^{\circ }$ の鏡で映す。

この鏡では、$x$ 座標と $y$ 座標が入れかわる。

$$\mathrm{A}(3,2)⟶(2,3)$$

なぜ入れかわるのか。 直線 $y=x$ は「$x$ と $y$ が等しい点」の集まり。この直線で折り返すと、$x$ 軸と $y$ 軸が入れかわる — だから座標も入れかわるのだ。

迷ったら、方眼紙に点を打って、折ってみる。 対称移動は、手を動かせば必ず分かる。

(1) $x$ 軸に関する対称は、$y$ 座標の符号だけ変える。

$$(3,2)\to (3,-2)$$

(2) 直線 $y=x$ に関する対称は、$x$ 座標と $y$ 座標を入れかえる。

$$(3,2)\to (2,3)$$

発展 — 一歩先へ。 直線 $y=x$ に関する対称移動($x$ と $y$ を入れかえる)は、逆関数の正体である。

$y=f(x)$ のグラフを $y=x$ で折り返すと、$x=f(y)$ — つまり $y=f^{-1}(x)$ のグラフになる。

$$\boxed{\text{関数とその逆関数のグラフは、直線 }y=x\text{ に関して対称}}$$

例を見よう。

• $y=2^x$($x=0$ で $1$、$x=1$ で $2$)と $y={\log }_{2}x$($x=1$ で $0$、$x=2$ で $1$)
• $y=x^2$($x\geqq 0$)と $y=\sqrt{x}$

「入れかわった $2$ つの関数」が、鏡像として向かい合っている。

指数関数と対数関数が「逆の関係」にあると習うとき、グラフの上では $y=x$ の鏡で結ばれているのだ。$(1,2)$ と $(2,1)$ が対応する — まさに座標の入れかえである。

そして、対称移動には「合成する」という遊び方もある。

• $x$ 軸対称 → $y$ 軸対称 の順に $2$ 回移すと? $(x,y)\to (x,-y)\to (-x,-y)$ — 原点対称になる
• $y=x$ 対称 → $x$ 軸対称 なら? $(x,y)\to (y,x)\to (y,-x)$ — これは $90^{\circ }$ 回転だ

$2$ 回の鏡映が、回転を生む。 これは物理の「鏡を $2$ 枚合わせると像が回転して見える」現象と同じことだ。

「対称移動」の組み合わせから、平面上のあらゆる合同変換(平行移動・回転・鏡映)が作れる — これを研究するのが群論である。結晶の構造も、素粒子の分類も、この理論の上に立っている。

方眼紙で点をひっくり返す遊びが、現代物理の言語につながっている。

別解

「対称点」の定義に立ち返って、答えを検証する。 そして、どんな直線に関する対称点でも求められる一般手順を身につけよう。

対称点の定義。 点 $\mathrm{A}$ と点 ${\mathrm{A}}^{\prime }$ が直線 $\ell$ に関して対称であるとは

1. ${\mathrm{AA}}^{\prime }$ の中点が、直線 $\ell$ の上にある
2. 線分 ${\mathrm{AA}}^{\prime }$ が、直線 $\ell$ と垂直

この $2$ 条件だけ。

(2)の答え $(2,3)$ を、この定義で検証する。

条件1: 中点は $\ell$ 上か。

$$\text{中点}=\left(\frac{3+2}{2},\frac{2+3}{2}\right)=(2.5,2.5)$$

直線 $y=x$ 上にあるか → $2.5=2.5$ ✓ ある。

条件2: 垂直か。

${\mathrm{AA}}^{\prime }$ の傾きは

$$\frac{3-2}{2-3}=\frac{1}{-1}=-1$$

直線 $y=x$ の傾きは $1$。積は $1\times (-1)=-1$ ✓ 垂直。

$2$ 条件とも満たした。$(2,3)$ は確かに対称点である。

さて、この定義を使えば、どんな直線でも対称点が求まる。

例: 点 $(3,2)$ の、直線 $y=2x$ に関する対称点は?

この場合、「座標を入れかえる」といった簡単な規則は使えない。定義から連立方程式を立てる。

対称点を $(p,q)$ とおく。

条件1(中点が直線上): 中点 $\left(\frac{3+p}{2},\frac{2+q}{2}\right)$ が $y=2x$ 上にある。

$$\frac{2+q}{2}=2\cdot \frac{3+p}{2}⟹2+q=2(3+p)⟹q=2p+4$$

条件2(垂直): ${\mathrm{AA}}^{\prime }$ の傾き $\times$ $2$ $=-1$。

$$\frac{q-2}{p-3}\times 2=-1⟹2(q-2)=-(p-3)⟹2q+p=7$$

連立して解く。 $q=2p+4$ を代入すると

$$2(2p+4)+p=7⟹5p=-1⟹p=-\frac{1}{5},q=\frac{18}{5}$$

汚い数だが、確実に求まる。

よく使う対称移動を、表にまとめておく。

$y=x$ 対称は「入れかえ」、$y=-x$ 対称は「入れかえて符号反転」。

規則が使えるのは、この $5$ つだけ。 それ以外の直線(たとえば $y=2x$)なら、定義に戻って連立方程式を立てる。

「規則を覚える」のではなく「定義から作れる」ようにしておく。 覚えた規則が使えない問題に出会ったとき、定義に戻れる人だけが解ける。