傾きが与えられた円の接線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 傾き $2$ の接線を $y=2x+k$ とおく。未知は切片 $k$ だけ。

円と直線が接する条件は「中心から直線までの距離 $=$ 半径」。中心は原点、半径は $\sqrt{5}$。

直線を $2x-y+k=0$ の形にして、原点からの距離 $\frac{|k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|k|}{\sqrt{5}}$。これが $\sqrt{5}$ に等しいから $|k|=5$、$k=\pm 5$。

① 接線をおく。 傾き $2$ より $y=2x+k$、すなわち $2x-y+k=0$。

② 距離 = 半径。 中心は原点 $(0,0)$、半径は $\sqrt{5}$。原点から直線 $2x-y+k=0$ までの距離が $\sqrt{5}$:

$$\frac{|2\cdot 0-0+k|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{5}⟹\frac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}⟹|k|=5$$

③ $k$ を求める。 $k=\pm 5$。よって接線は

$$y=2x+5,y=2x-5$$

まとめ:傾きが決まった接線は「$y=(\text{傾き})x+k$ とおき、中心からの距離 $=$ 半径」で $k$ を出す。原点中心なら分子が $|k|$ になって計算が軽い。傾きが同じ接線は円の上下に $2$ 本できる。

発展 — 一歩先へ。 円 $x^2+y^2=r^2$ の傾き $m$ の接線は $y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}$(切片が $\pm r\sqrt{1+m^2}$)。$2$ 本あるのは、円をはさむ上下の平行な接線。楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ なら $y=mx\pm \sqrt{a^2{m}^2+b^2}$。傾きを指定した接線は、円錐曲線でこの形の公式をもつ。

別解

別解 — 接点を法線で捉える(得意な人向けの視点)。 円 $x^2+y^2=5$ 上の点 $(x_0,y_0)$ での接線は $x_{0}x+y_{0}y=5$。この接線の傾きは $-\frac{x_0}{y_0}$。傾き $2$ の接線なら $-\frac{x_0}{y_0}=2$、すなわち $x_0=-2y_0$。

接点は円上だから $x_0^2+y_0^2=5$。$x_0=-2y_0$ を代入すると $4y_0^2+y_0^2=5$、$y_0^2=1$、$y_0=\pm 1$。

$y_0=1$ なら $x_0=-2$、接点 $(-2,1)$。接線 $-2x+y=5$、すなわち $y=2x+5$。$y_0=-1$ なら接点 $(2,-1)$、接線 $y=2x-5$。

中心からの距離で解く本解と同じ $y=2x\pm 5$。接点を「傾きから逆算」すると、$2$ つの接点 $(\mp 2,\pm 1)$ が具体的に出る。接線の傾きが $-\frac{x_0}{y_0}$(半径 $\perp$ 接線)なのが鍵で、円上の点と接線が対応する。