数学II / 図形と方程式

直線が通過する領域

最難関編通過領域軌跡

問題

実数 $a$ が全ての値をとって変化するとき、直線 $y = a x - a^{2} + 1$ が通過する領域を図示せよ。

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「その点を通る直線が存在するか」を「 $a$ の方程式が実数解をもつか」に言い換える。 $y = a x - a^{2} + 1$ を $a$ について整理すると2次方程式。判別式で条件を出せるか。

解答・解説

方針

点 $(x, y)$ が通過領域に属する ⟺ その $(x, y)$ を満たす実数 $a$ が存在する。式を $a$ の2次方程式とみて、実数解をもつ条件(判別式 $\geq 0$ )を書く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「直線が通過する領域」と聞かれたら、視点を1つ裏返す。動く図形の側ではなく、点の側に立つのだ。

点 $(x, y)$ が通過領域に入るとは、その点を通る直線が(ある $a$ で)実在すること。そこで $x, y$ を固定し、 $y = a x - a^{2} + 1$ を $a$ についての方程式とみる。実数解 $a$ をもつかどうか、がその点の合否判定になる(逆手の考え方)。

$a$ について整理すると2次方程式。実数解の有無は判別式で機械的に書ける。

重要パラメータを含む図形の通過領域は「そのパラメータの方程式が実数解をもつ条件」で求める(逆像法)

① $a$ の方程式に整理。 $y = a x - a^{2} + 1$ を $a$ について降べきに並べると

$a^{2} - x a + (y - 1) = 0$

② 実数解をもつ条件。 これを満たす実数 $a$ が存在する ⟺ 判別式 $\geq 0$ 。

公式2次方程式

a^{2} - x a + (y - 1) = 0

が実数解 ⟺ 判別式

D = x^{2} - 4 (y - 1) \geq 0

$x^{2} - 4 (y - 1) \geq 0 ⟺ y \leq \frac{x ^{2}}{4} + 1$

③ 領域。 求める領域は放物線 $y = \frac{x ^{2}}{4} + 1$ とその下側(境界を含む)。

直線 y=ax−a²+1 が全ての実数 a で通過する領域(斜線部)。境界は放物線 y=x²/4+1、その下側 y≤x²/4+1

まとめ:「直線が通るか」を「 $a$ が実在するか」に翻訳し、判別式で条件化するのが急所。境界の放物線は各点にちょうど1本の直線が接する(重解 $a = x /2$ )包絡線になっている。

発展 — 一歩先へ。 恒等式 $\frac{x ^{2}}{4} + 1 - (a x - a^{2} + 1) = (\frac{x}{2} - a)^{2} \geq 0$ が示すとおり、直線 $y = a x - a^{2} + 1$ は境界の放物線と $x = 2 a$ の1点でだけ接する。つまりこの直線族は放物線の接線の族で、境界は族の包絡線だ。通過領域の境界に「重解=接する」が現れるのは偶然ではない。

答

$y \leq \frac{x ^{2}}{4} + 1$ (放物線 $y = \frac{x ^{2}}{4} + 1$ とその下側)

別解

順手で攻める(各縦線の上で、届く高さを集める)。 「実数解の存在」という言い換えがピンとこない人は、 $x$ を1本の縦線に固定して、直線たちがその縦線上のどの高さを通るかを全部集めればよい。

$x$ を固定すると、高さは $a$ の関数になる:

$y = a x - a^{2} + 1 = - (a - \frac{x}{2})^{2} + \frac{x ^{2}}{4} + 1$

$a$ の2次式として上に凸だから、 $a$ が全実数を動くと $y$ は最大値 $\frac{x ^{2}}{4} + 1$ ( $a = \frac{x}{2}$ のとき)以下の値をすべてとる。

つまり縦線 $x$ の上で直線が通るのは $y \leq \frac{x ^{2}}{4} + 1$ の部分。これを全部の $x$ で束ねると、判別式と同じ領域になる。

逆手(判別式)は「その点に入れるか」を一発判定し、順手(平方完成)は「届く高さ」を直接測る。同じ答えへの2本の道で、通過領域の全問題に通用する往復だ。

ポイント

通過領域=パラメータ $a$ の存在条件(逆像法)。
$a^{2} - x a + (y - 1) = 0$ の判別式 $\geq 0$ 。
$y \leq \frac{x ^{2}}{4} + 1$ 。

よくある間違い

判別式を $> 0$ にして、境界の放物線を除いてしまう。実数解が重解1個でも直線は実在するから $\geq 0$ が正しい。
境界の放物線 $y = \frac{x ^{2}}{4} + 1$ だけを答えて、下側の領域を落とす。求めるのは直線が通る点の全体(領域)。
$a$ を傾きと固定して1本の直線の話にしてしまい、「 $a$ が全実数を動く」という前提を見失う。