数学II / 図形と方程式

中心が直線上にある円

★★★ 応用円の方程式

問題

中心が直線 $y = x$ 上にあり、2点 $(0, 2)$ 、 $(4, 0)$ を通る円の方程式を求めよ。

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『中心が直線 $y = x$ 上にある』を、文字 $1$ つで表現できるか。あとは『 $2$ 点から等距離』を式にすれば決まる。距離は $2$ 乗のまま比べると楽。

解答・解説

方針

中心は $y = x$ 上なので $(t, t)$ とおける。中心から2点までの距離が等しい(どちらも半径)ことから $t$ を求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 中心が直線 $y = x$ 上にある。だから中心は $(t, t)$ と $1$ 文字で書ける。未知数が減るのが大きい。

半径は「中心から円周上の点までの距離」だ。いま円周上の点として $2$ 点が分かっている。中心から $2$ 点までの距離はどちらも半径で、等しい。

この「 $2$ 点までの距離が等しい」を $t$ の方程式にする。条件で中心を $1$ 文字にし、等距離条件で解く、これが発想だ。

重要中心が直線上 → 中心を1文字でおき、2点までの距離が等しい条件で決める

中心は $y = x$ 上なので $(t, t)$ とおく。中心から2点までの距離(半径)が等しいので、2乗して比べる。

$(t - 0)^{2} + (t - 2)^{2} = (t - 4)^{2} + (t - 0)^{2}$

展開して整理する。左辺 $= 2 t^{2} - 4 t + 4$ 、右辺 $= 2 t^{2} - 8 t + 16$ 。

$- 4 t + 4 = - 8 t + 16 \Rightarrow 4 t = 12 \Rightarrow t = 3$

中心は $(3, 3)$ 。半径の2乗は $(3 - 0)^{2} + (3 - 2)^{2} = 9 + 1 = 10$ 。

$(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 10$

中心は直線 y=x 上。2点を通る円

発展 — 一歩先へ。 円を $1$ つに決めるには、独立な条件が $3$ つ要る。中心の座標 $2$ つと半径 $1$ つ、あるいは一般式 $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ の $l$ 、 $m$ 、 $n$ の $3$ つだ。

この問題では「 $1$ 点目を通る」「 $2$ 点目を通る」で条件が $2$ つ、「中心が $y = x$ 上」で $1$ つ、合わせて $3$ つ。だからちょうど円が $1$ つに定まる。

条件が $2$ つなら円は $1$ 通りに決まらず、 $1$ 文字ぶんの自由度が残る。条件の個数を数えるだけで、答えが一意かどうかを見通せる。

答

$(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 10$

別解

別解 — 垂直二等分線との交点で中心を出す(図でつかむルート)。 円の中心は、通る $2$ 点から等距離にある。 $2$ 点から等距離の点全体は、その $2$ 点を結ぶ線分の垂直二等分線だ。だから中心はこの垂直二等分線の上にある。

$2$ 点 $(0, 2)$ 、 $(4, 0)$ の中点は $(2, 1)$ 。この $2$ 点を結ぶ線分の傾きは $\frac{0 - 2}{4 - 0} = - \frac{1}{2}$ 。垂直二等分線はこれに垂直だから傾き $2$ で、 $(2, 1)$ を通る。式は $y - 1 = 2 (x - 2)$ 、すなわち $y = 2 x - 3$ 。

中心はこの垂直二等分線と、与えられた直線 $y = x$ の両方に乗る。連立して $x = 2 x - 3$ 、 $x = 3$ 、 $y = 3$ 。中心 $(3, 3)$ 。半径の $2$ 乗は $(3 - 0)^{2} + (3 - 2)^{2} = 10$ 。

中心を $1$ 文字で置いて等距離を解く本解に対し、こちらは「等距離の点＝垂直二等分線」という図形の事実を使う。同じ円 $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 10$ が出る。

ポイント

中心の条件(直線上など)は、中心を1文字で表すと式が減る。
『2点までの距離が等しい』=半径が等しい、を2乗で立てる。

よくある間違い

中心を $(t, t)$ と置くべきところ、 $y = x$ を使わず中心を $(a, b)$ の $2$ 文字に置き、条件が足りず解けなくなる。
$2$ 点までの距離を根号のまま等号で結び、両辺を $2$ 乗せずに計算を重くする。
半径の $2$ 乗を求め忘れ、中心 $(3, 3)$ だけを答えて円の方程式を書かない。