三角形の外心と外接円

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 外心は $3$ 頂点から等距離の点だ。外接円の中心だから、$3$ 頂点までの距離はどれも半径で、互いに等しい。

そこで中心を $\mathrm{P}(a,b)$ とおく。${\mathrm{PA}}^2={\mathrm{PB}}^2$ と ${\mathrm{PA}}^2={\mathrm{PC}}^2$ の $2$ 本を立てる。距離は $2$ 乗のまま比べると、$a^2+b^2$ が両辺で消えて $1$ 次式になる。

「外心は $3$ 頂点から等距離」という定義を、そのまま座標の連立に翻訳する。これが核だ。

外心を $\mathrm{P}(a,b)$ とおく。${\mathrm{PA}}^2={\mathrm{PB}}^2$ より

$$a^2+b^2=(a-6{)}^2+b^2\Rightarrow 0=-12a+36\Rightarrow a=3$$

${\mathrm{PA}}^2={\mathrm{PC}}^2$ より

$$a^2+b^2=(a-2{)}^2+(b-4{)}^2\Rightarrow 0=-4a+4-8b+16$$

$a=3$ を入れると $0=-12+4-8b+16=8-8b$、$b=1$。外心は $(3,1)$。

半径の2乗は ${\mathrm{PA}}^2=3^2+1^2=10$。外接円は

$$(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=10$$

発展 — 一歩先へ。 外接円の半径は、三角形の $3$ 辺 $a,b,c$ と面積 $S$ から $R=\frac{abc}{4S}$ でも出る。この三角形は $\mathrm{AB}=6$、$\mathrm{BC}=4\sqrt{2}$、$\mathrm{CA}=2\sqrt{5}$、面積 $S=12$。代入すると $R=\frac{6\cdot 4\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{5}}{4\cdot 12}=\sqrt{10}$ で、外接円の半径 $\sqrt{10}$ に一致する。

外心は各辺の垂直二等分線の交点でもある。$3$ 本の垂直二等分線が $1$ 点に集まること自体が、$3$ 頂点から等距離の点の存在を保証している。

外心は重心・内心とならぶ三角形の五心の $1$ つだ。座標では等距離の連立で、初等幾何では垂直二等分線の交点で、同じ点にたどり着く。

別解

別解 — 一般式に3頂点を代入して決める(得意な人向けの視点)。 外接円を $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ とおき、$3$ 頂点を代入して $D,E,F$ を決める。原点 $\mathrm{A}(0,0)$ を通るので $F=0$。

$\mathrm{B}(6,0)$ を代入すると $36+6D=0$、$D=-6$。$\mathrm{C}(2,4)$ を代入すると $4+16+2D+4E=0$、$D=-6$ を入れて $8+4E=0$、$E=-2$。

よって $x^2+y^2-6x-2y=0$。平方完成すると $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=10$。中心 $(3,1)$、半径 $\sqrt{10}$。

${\mathrm{PA}}^2={\mathrm{PB}}^2$ 型で中心を出す本解に対し、こちらは円の一般式に $3$ 点を入れて連立するだけ。$\mathrm{A}$ が原点なので $F=0$ となり計算が軽い。同じ外心 $(3,1)$、外接円 $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=10$ が出る。