数学II / 図形と方程式

平行・垂直な直線(2)

★★ 標準平行と垂直

問題

3点 $A (0, 1)$ 、 $B (2, 5)$ 、 $C (4, 3)$ について、次の直線の方程式を求めよ。

(1) 点 $A$ を通り、直線 $BC$ に平行な直線

(2) 点 $A$ を通り、直線 $BC$ に垂直な直線

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まず $BC$ の傾きを計算する。平行・垂直それぞれで新しい直線の傾きがどう決まるかを思い出せば、あとは $A$ を通る直線を書くだけ。

解答・解説

まず $BC$ の傾きを求める。平行なら同じ傾き、垂直なら傾きの積が $- 1$ 。どちらも点 $A$ を通る式にする。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平行・垂直は、傾きの言葉に翻訳して処理する。

まず基準になる直線 $BC$ の傾きを計算する。 $\frac{3 - 5}{4 - 2} = - 1$ 。

平行なら同じ傾き $- 1$ 。垂直なら積が $- 1$ になる傾き、つまり $1$ 。あとは、どちらも点 $A (0, 1)$ を通る直線の式に仕立てるだけだ。

公式平行

⟺

傾きが等しい、垂直

⟺

傾きの積が

- 1

$BC$ の傾きは

$\frac{3 - 5}{4 - 2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

(1) 平行 は傾きも $- 1$ 。点 $A (0, 1)$ を通るので

$y = - x + 1$

(2) 垂直 は傾きの積が $- 1$ 。 $- 1 \times m = - 1$ より $m = 1$ 。点 $A (0, 1)$ を通るので

$y = x + 1$

BC(黒)に平行な直線(青)と垂直な直線(赤)、ともに A を通る

発展 — 一歩先へ。 別解の「 $a x + b y = c$ の係数の操作」は、係数の組 $(a, b)$ が直線の向きを支配しているという事実の現れだ。数学Cでこの組は法線ベクトル(直線に垂直な矢印)と呼ばれ、平行・垂直の判定が内積の言葉で統一される。

傾きの方法は $y$ 軸に平行な直線(傾きが定義できない)で破綻するが、 $a x + b y = c$ の形はその場合も扱える。2つの記法の守備範囲の違いも、頭の隅に置いておきたい。

答

(1) $y = - x + 1$ (2) $y = x + 1$

「形を保って定数だけ替える」という直線族の見方も、そろえておくと速い。

直線 $BC$ の式を先に作ると $y = - x + 7$ 、移項して $x + y = 7$ 。

これに平行な直線は、左辺の形をそっくり保ったまま右辺の定数だけが違う仲間、 $x + y = c$ である。 $A (0, 1)$ を代入して $c = 1$ 。つまり $x + y = 1$ ( $y = - x + 1$ )。

垂直な直線は、 $x$ と $y$ の係数を入れかえて片方の符号を変えた $x - y = c$ の形になる。 $A$ を代入して $c = - 1$ 、つまり $y = x + 1$ 。

「平行=定数替え、垂直=係数の入れかえと符号反転」。傾きを分数で扱う場面( $3 x + 2 y = 5$ に垂直、など)ほど、この形の操作は分数計算を避けられて強い。