数学II / 図形と方程式

2直線の交点

★ 基礎2直線の交点

問題

2直線 $2 x + y = 5$ 、 $x - y = 1$ の交点の座標を求めよ。

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連立して解くだけ。 $2$ つの式をどう組み合わせれば文字が $1$ つ消えるか、式の形をよく見てから手を動かそう。

解答・解説

方針

交点は、2つの直線の式を同時に満たす点。だから連立方程式を解けばよい。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点とは「両方の直線の上にある点」。だから両方の式を同時に満たす $(x, y)$ を探す — つまり連立方程式を解く。

${2 x + y = 5 x - y = 1$

加減法が速い。 $y$ の係数が $+ 1$ と $- 1$ — 足すだけで $y$ が消える。

$(2 x + y) + (x - y) = 5 + 1 ⟹ 3 x = 6 ⟹ x = 2$

$y$ を求める。 $x = 2$ を、計算が楽なほうの式に代入する。

$2 - y = 1 ⟹ y = 1$

$(2, 1)$

「連立方程式を解く」ことと「 $2$ 直線の交点を求める」ことは、まったく同じである。中学から解いてきた連立方程式には、こういう幾何的な意味があった。

重要2直線の交点は、2つの方程式を連立して解いた点

2式をたすと $y$ が消える。

$(2 x + y) + (x - y) = 5 + 1 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2$

$x = 2$ を $x - y = 1$ に入れて $2 - y = 1$ 、 $y = 1$ 。

よって交点は $(2, 1)$ 。

2直線の交点は (2,1)

発展 — 一歩先へ。 連立 $1$ 次方程式と直線の関係は、次元を上げても続く。

$3$ 変数の $1$ 次方程式 $a x + b y + cz = d$ は、空間内の平面を表す。

$⎩ ⎨ ⎧ 平面_{1} 平面_{2} 平面_{3}$

$3$ 枚の平面の共通部分を求める — それが $3$ 元連立 $1$ 次方程式だ。

結末は、こうなる。

$1$ 点で交わる → 解がただ $1$ 組(部屋の隅を思い浮かべるとよい。壁 $2$ 枚と床が $1$ 点で出会う)
$1$ 直線で交わる → 解が無数(本のページのように、 $3$ 枚が $1$ 本の線で綴じられている)
共通部分なし → 解なし(三角柱の側面のように、 $2$ 枚ずつは交わるのに $3$ 枚共通の点はない)

方程式の解の様子が、そのまま図形の位置関係になっている。

この対応を体系的に扱うのが線形代数という分野だ。大学で最初に学ぶ数学のひとつで、連立 $1$ 次方程式を、次元を問わず統一的に解く理論である。

そして、線形代数は現代技術の心臓部にある。

$3$ D グラフィックス: 物体の回転・拡大は行列の掛け算
画像処理: 画像を巨大な行列とみなす
機械学習: ニューラルネットワークの計算は、ほとんどが行列演算
検索エンジン: ページの重要度計算(PageRank)は、巨大行列の固有値問題

$2 x + y = 5$ と $x - y = 1$ を解く、という中学以来の作業。 その延長線上に、現代のテクノロジーが立っている。基本の計算を、侮ってはいけない。

答

$(2, 1)$

別解

交点を求めずに、「交点を通る直線」を書く方法がある。 直線束という強力な技だ。これを知ると、多くの問題が劇的に短くなる。

まず、連立方程式の幾何的な意味を整理する。

$2$ 直線の連立方程式には、 $3$ つの結末がある。

連立方程式	$2$ 直線	解
ただ $1$ 組の解	$1$ 点で交わる	交点 $1$ 個
解なし( $0 = 5$ のような矛盾)	平行(交わらない)	なし
無数の解( $0 = 0$ )	一致(同じ直線)	無数

「解なし」は、平行だということ。 $2 x + y = 5$ と $2 x + y = 3$ を連立すると $5 = 3$ という矛盾が出る — 傾きが同じで切片が違う $2$ 直線は、永遠に出会わない。

さて、直線束の技。

$2$ 直線 $ℓ_{1} : 2 x + y - 5 = 0$ 、 $ℓ_{2} : x - y - 1 = 0$ の交点を通る直線は、次の形で全部書ける。

$(2 x + y - 5) + k (x - y - 1) = 0 (k は定数)$

なぜか。 交点 $(2, 1)$ を代入してみる。

$(4 + 1 - 5) + k (2 - 1 - 1) = 0 + k \cdot 0 = 0$

$k$ が何であっても、 $0 = 0$ で成り立つ。 つまりこの式が表す直線は、 $k$ をどう変えても必ず交点 $(2, 1)$ を通る。

交点の座標を計算しなくても、「交点を通る直線」が書けてしまった。

使いどころ。

問題: 「 $2$ 直線 $2 x + y = 5$ 、 $x - y = 1$ の交点を通り、点 $(4, 3)$ を通る直線を求めよ」

直線束を使う。

$(2 x + y - 5) + k (x - y - 1) = 0$

点 $(4, 3)$ を通るので代入する。

$(8 + 3 - 5) + k (4 - 3 - 1) = 0 ⟹ 6 + 0 \cdot k = 0$

あれ、 $k$ が消えてしまった。 これは「点 $(4, 3)$ が $ℓ_{2}$ 上にある」場合で、直線束では表せない直線( $ℓ_{2}$ 自身)が答えになる、という特殊なケースだ(直線束の弱点で、 $ℓ_{2}$ そのものだけは表せない)。

別の点で試そう。「交点を通り、点 $(0, 0)$ を通る直線」なら

$(0 + 0 - 5) + k (0 - 0 - 1) = 0 ⟹ - 5 - k = 0 ⟹ k = - 5$

$(2 x + y - 5) - 5 (x - y - 1) = 0 ⟹ - 3 x + 6 y = 0 ⟹ y = \frac{x}{2}$

検算: 交点 $(2, 1)$ で $1 = \frac{2}{2}$ ✓、原点 $(0, 0)$ で $0 = 0$ ✓。

交点を求めずに済んだ。 今回は交点が $(2, 1)$ ときれいだったが、交点が $(\frac{17}{13}, - \frac{5}{13})$ のような分数だったら、直線束のありがたみは絶大になる。

「答えを求めずに、答えを使う」 — 数学には、こういう技がある。 $2$ 円の交点を通る円(円束)も、まったく同じ発想で作れる。

ポイント

交点=連立方程式の解。
たし算・引き算で1文字を消すのが速い。

よくある間違い

$x$ を求めただけで満足し、 $y$ を出し忘れる
加減法で足すか引くかを間違え、文字が消えない
連立方程式が「解なし」になったとき、計算ミスだと思ってしまう(2直線が平行なら解なしが正しい)