数学II / 図形と方程式

3直線が1点で交わる条件

★★ 標準3直線

問題

3直線 $x + y = 3$ 、 $2 x - y = 0$ 、 $x + a y = 5$ が1点で交わるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

ヒントを見る

$3$ 本が $1$ 点で交わる=ある $1$ つの点がすべての式を満たす、ということ。 $a$ を含まない $2$ 本から先に攻めると道が開ける。

解答・解説

3直線が1点で交わるなら、まず2直線の交点を求め、その点を3本目が通ればよい。交点の座標を3本目に代入して $a$ を出す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「3直線が1点で交わる」を、手順に分解する。

$a$ を含まない2本( $x + y = 3$ と $2 x - y = 0$ )の交点なら、いま確定できる。連立して $(1, 2)$ 。

3本目がこの点を通れば、3本は共点だ。 $(1, 2)$ を $x + a y = 5$ に代入して $a$ を求める。「確定できるものから確定する」という段取りの問題である。

重要3直線が1点で交わる → まず2直線の交点を出し、3本目がそこを通る条件を立てる

まず $x + y = 3$ と $2 x - y = 0$ の交点。2式をたすと $3 x = 3$ 、 $x = 1$ 。 $2 x - y = 0$ から $y = 2$ 。交点は $(1, 2)$ 。

この点を3本目 $x + a y = 5$ が通るので、代入する。

$1 + a \cdot 2 = 5 \Rightarrow 2 a = 4 \Rightarrow a = 2$

3直線が1点(1,2)で交わる

発展 — 一歩先へ。 3直線が「三角形を作らない」条件を問う逆型の問題では、共点になる場合に加えて「どれか2本が平行」の場合も数える。今日の共点条件は、その部品の1つだ。

別解の束の式 $λ f + μg = 0$ は、直線に限らず円でも通用する万能の型で、「2つの図形の交点を通る図形」を交点計算なしで扱う技術の入り口である。

答

$a = 2$

交点を計算せずに、「3本目は他の2本の混ぜ合わせで書けるはず」という目で解く方法もある。

2直線 $x + y - 3 = 0$ と $2 x - y = 0$ の交点を通る直線は、すべて

$λ (x + y - 3) + μ (2 x - y) = 0$

の形で書ける(交点では両カッコが $0$ になるから、どんな $λ, μ$ でもこの式は交点を通る)。

3本目 $x + a y - 5 = 0$ がこの形になるよう、係数を比較する。 $x$ : $λ + 2 μ = 1$ 、定数: $- 3 λ = - 5$ 。ここから $λ = \frac{5}{3}$ 、 $μ = - \frac{1}{3}$ 。

$y$ の係数から $a = λ - μ = \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = 2$ 。

この「交点を通る図形の族(束)」の考えは、あとの2円の交点を通る直線や、軌跡と領域の単元で本格的に活躍する。交点の座標が汚い問題ほど、計算を回避できる威力が出る。