定線分を直角に見込む点の軌跡(タレスの円)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$90^{\circ }$ に見込む」という角の条件を、計算できる形に翻訳したい。

直角はベクトルの直交、つまり内積 $0$ がいちばん素直だ。$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=0$ を座標で書く。

展開すると2乗の項が並び、円の方程式が現れる。答えは $\mathrm{AB}$ を直径とする円 — 「直径を見込む円周角は直角」という円周角の定理の逆向きの姿である。

① 内積で表す。 $\mathrm{P}(x,y)$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=(-2-x,-y)$、$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=(2-x,-y)$。内積は $$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=(-2-x)(2-x)+(-y)(-y)=(x^2-4)+y^2.$$ ② 内積 $=0$。 $\angle \mathrm{APB}=90^{\circ }$ より $$x^2-4+y^2=0⟹x^2+y^2=4.$$

③ 軌跡。 中心 $(0,0)$、半径 $2$ の円、すなわち $\mathrm{AB}$ を直径とする円(ただし $\mathrm{P}=\mathrm{A},\mathrm{B}$ では三角形ができないので端点は除く)。

まとめ 直角は内積 $0$。$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=0$ を成分計算すると $x^2+y^2=4$、$\mathrm{AB}$ を直径とする円(タレスの円)。図形と方程式(軌跡)・内積・円周角の融合。

発展 — 一歩先へ。 角度を $90^{\circ }$ から一般の $\theta$ に変えると、軌跡は $\mathrm{AB}$ を弦として「円周角 $\theta$」をもつ2つの円弧になる(円周角の定理)。$90^{\circ }$ はちょうど2つの弧が1つの円につながる特別な角だ。「一定の角に見込む点の集合=円弧」は、測量や作図で昔から使われてきた。

別解

別解 — 「斜辺の中点は3頂点から等距離」で見抜く(苦手な人向け)。 直角三角形では、斜辺の中点から3つの頂点までの距離がすべて等しい(長方形の対角線を思い出すと納得できる)。

$\angle \mathrm{APB}=90^{\circ }$ の三角形 $\mathrm{APB}$ では、斜辺は $\mathrm{AB}$。その中点は原点 $\mathrm{M}(0,0)$ で、$\mathrm{MA}=\mathrm{MB}=2$。

だから $\mathrm{MP}=2$、つまり $\mathrm{P}$ は中心 $\mathrm{M}$・半径 $2$ の円の上にある。逆に、この円上の点($\mathrm{A},\mathrm{B}$ 以外)では $\mathrm{MP}=\mathrm{MA}=\mathrm{MB}$ から $\angle \mathrm{APB}=90^{\circ }$ に戻れる。

$$x^2+y^2=4(\text{ただし }(\pm 2,0)\text{ を除く}).$$

内積(本解)は機械的で速い。この別解は「なぜ円になるのか」を中学幾何の言葉で説明してくれる。