kによらず通る定点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$k$ によらず通る定点」は、式を $k$ について整理するのが定石。$k$ でくくる。

$(2k+1)x+(k-1)y-(k+2)=0$ を $k$ について整理すると $k(2x+y-1)+(x-y-2)=0$。

$k$ がどんな値でも成り立つには、$k$ の係数と定数項が同時に $0$。すなわち $2x+y-1=0$ かつ $x-y-2=0$。この連立を解くと定点 $(1,-1)$。

① $k$ について整理する。 $(2k+1)x+(k-1)y-(k+2)=0$ を $k$ でくくる。

$$k(2x+y-1)+(x-y-2)=0$$

② 係数を $0$ にする。 $k$ によらず成り立つには

$$2x+y-1=0\text{かつ}x-y-2=0$$

③ 連立する。 $2$ 式を足すと $3x-3=0$、$x=1$。$x-y-2=0$ に代入して $y=-1$。よって定点は

$$(1,-1)$$

まとめ:「パラメータによらず通る定点」は「$k$ について整理して、係数と定数をともに $0$」。$k$ の恒等式とみるのがカギ。$2$ 式の連立で定点の座標が決まる。図では、$k$ を変えた各直線が $1$ 点で束になって通る。

発展 — 一歩先へ。 パラメータ $k$ を含む直線 $f(x,y)+kg(x,y)=0$ は、$f=0$ と $g=0$ の交点を必ず通る直線の族(直線束)。定点は $f=0\cap g=0$。$2$ 円の交点を通る円の族(円束、前問)と同じ発想で、「共通点を通る図形の族」はパラメータ $1$ つで表せる。射影幾何の基本構造だ。

別解

別解 — $2$ 本の具体的な直線の交点として求める(苦手な人にも確実なルート)。 「$k$ によらず通る定点」は、$k$ に具体的な値を $2$ つ入れて $2$ 本の直線を作り、その交点を求めればよい(定点はどの $k$ の直線にも乗るから)。

$k=0$: $x-y-2=0$、すなわち $x-y=2$。 $k=1$: $3x+0\cdot y-3=0$、すなわち $x=1$。

この $2$ 本を連立: $x=1$ を $x-y=2$ に入れて $y=-1$。交点 $(1,-1)$。

念のため別の $k$ で確認: $k=-2$ なら $-3x-3y-0=0$…$(2\cdot (-2)+1)x+(-2-1)y-(-2+2)=-3x-3y=0$、$x+y=0$。$(1,-1)$ は $1+(-1)=0$ で満たす。

$k$ でくくって係数 $=0$ とする本解と同じ $(1,-1)$。「定点は全部の直線に乗る」から、$2$ 本の代表を選んで交点を出せば十分。$k$ の一次式の“束”は、その定点を中心に回る直線の集まりだ。