2つの不等式が表す領域の面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 連立の領域は、まず1つずつ図形を特定する。

$|x|+|y|\le 2$ は、境界を象限ごとに描くと頂点 $(\pm 2,0),(0,\pm 2)$ の正方形(対角線が軸に沿う)。$x^2+y^2\ge 1$ は単位円の外側。求める領域は「正方形の中」かつ「円の外」だ。

もし単位円が正方形にすっぽり入っているなら、面積は(正方形)$-$(円)の引き算一発で出る。だから先に、その包含関係を確かめる。

① 正方形の面積。 $|x|+|y|\le 2$ の境界は正方形で、対角線が $x$ 軸・$y$ 軸方向にそれぞれ長さ $4$。対角線の積の半分で

$$S_{\text{正方形}}=\frac{4\times 4}{2}=8$$

② 単位円は正方形の内部にあるか。 単位円周上の点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ について $|x|+|y|=|\cos \theta |+|\sin \theta |$。この最大値は $\sqrt{2}$($\theta =45^{\circ }$ 等)で、$\sqrt{2}<2$。よって単位円は正方形の内部に完全に含まれる。

③ 引き算。 領域は正方形から単位円(内部)をくり抜いたもの。単位円の面積は $\pi \cdot 1^2=\pi$ だから

$$S=8-\pi$$

まとめ:$|x|+|y|\le 2$ を正方形と見抜き、単位円が丸ごと内側にある(だから素直に引ける)ことを確認するのが急所。「くり抜き」が成立する包含関係のチェックを飛ばさない。

発展 — 一歩先へ。 $|x|+|y|\le 2$(正方形)と円は、原点からの「距離の測り方」を替えた2種類の円ともみなせる。この正方形に内接する最大の円の半径は、中心から辺 $x+y=2$ までの距離 $\sqrt{2}$。②で確かめた $\sqrt{2}<2$ は、単位円がその内接円にも収まっている、という余裕の表現だった。

別解

対称性で第1象限に絞る(絶対値の定石)。 $|x|$ と $|y|$ は、$x$ の符号を変えても $y$ の符号を変えても値が変わらない。つまりこの領域は、$x$ 軸についても $y$ 軸についても対称だ。

だから第1象限($x\ge 0,y\ge 0$)だけ調べて4倍すればよい。第1象限では絶対値がそのまま外れて

$$x+y\le 2,x^2+y^2\ge 1(x\ge 0,y\ge 0)$$

これは「直角をはさむ2辺が $2$ の直角三角形」から「半径 $1$ の四分円」をくり抜いた形。面積は

$$\frac{2\times 2}{2}-\frac{\pi }{4}=2-\frac{\pi }{4}$$

4倍して $4\left(2-\frac{\pi }{4}\right)=8-\pi$。

絶対値を見たら、符号の場合分けを4回やる前に対称性で1つの象限に落とす。図形の絶対値の、いちばん得な入り口だ。