分数式の最大最小(傾きの範囲)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{y+2}{x+2}$ という分数の形に、図形の意味を与える。値を $k$ とおくと $y+2=k(x+2)$。これは定点 $(-2,-2)$ を通る傾き $k$ の直線だ。

$(x,y)$ は円上の点だから、値 $k$ が実現する ⟺ この直線が円と共有点をもつ。求める範囲は「直線が円に届く $k$ の範囲」に翻訳される。

範囲の端は、直線が円に接する瞬間。接する条件は「中心から直線までの距離 $=$ 半径」で立式できる。

① 直線とおく。 $k=\frac{y+2}{x+2}$ より $kx-y+2k-2=0$。これは定点 $(-2,-2)$ を通る傾き $k$ の直線。

② 円と共有点をもつ条件。 中心 $(0,0)$ からの距離 $\le$ 半径 $1$:

$$\frac{|2k-2|}{\sqrt{k^2+1}}\le 1⟺(2k-2{)}^2\le k^2+1$$

③ 2次不等式を解く。

$$4k^2-8k+4\le k^2+1⟺3k^2-8k+3\le 0$$ $$k=\frac{8\pm \sqrt{64-36}}{6}=\frac{8\pm 2\sqrt{7}}{6}=\frac{4\pm \sqrt{7}}{3}$$

よって $\frac{4-\sqrt{7}}{3}\le k\le \frac{4+\sqrt{7}}{3}$。最大値 $\frac{4+\sqrt{7}}{3}$、最小値 $\frac{4-\sqrt{7}}{3}$。

まとめ:分数式を「定点を通る直線の傾き」と読み替えるのが急所。傾きの端=直線が円に接するとき、を「中心からの距離=半径」で立式し、$k$ の2次不等式に落とす。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{y-b}{x-a}$ 型はいつでも「定点 $(a,b)$ から見た傾き」。円を楕円や放物線に替えても、「範囲の端=接するとき」という原理はそのまま通用する。分数式に図形の意味を与える読み替えは、$x+y$(切片)や $x^2+y^2$(距離の2乗)にも広がる。

別解

円をパラメータ表示して合成する(存在条件ルート)。 円上の点を $(\cos \theta ,\sin \theta )$ と書いてしまう手もある。

$$k=\frac{\sin \theta +2}{\cos \theta +2}$$

円上では $\cos \theta +2\ge 1>0$ だから、分母を払っても同値:

$$\sin \theta -k\cos \theta =2k-2$$

左辺は合成すると振幅 $\sqrt{1+k^2}$ の1つの正弦波。この方程式を満たす $\theta$ が実在する条件は、右辺が振幅の中に収まることだ:

$$|2k-2|\le \sqrt{1+k^2}$$

2乗して整理すると $3k^2-8k+3\le 0$。本解の距離条件とまったく同じ不等式に落ちる。

「点と直線の距離 $\le$ 半径」(幾何)と「合成の振幅に収まる」(三角関数)は、同じ内容の2つの言い方。片方で立式し、もう片方で検算できると強い。