数学II / 図形と方程式

2円の交点を通る円

★★★ 応用2円の交点束

問題

2つの円 $x^{2} + y^{2} = 4$ と $(x - 1)^{2} + y^{2} = 3$ の交点を通り、原点 $(0, 0)$ を通る円の方程式を求めよ。

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$2$ 円の交点を通る図形たちを、交点の座標を求めずにまとめて表す書き方があった。それに『原点を通る』の条件を足せば $1$ つに決まる。

解答・解説

方針

2円の交点を通る図形は、2つの式を $f_{1} + k f_{2} = 0$ と組み合わせた「束」で表せる。原点を通る条件で $k$ を決める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 円の交点を通る図形は、交点そのものを求めなくても表せる。 $2$ 円の式を $f_{1}$ 、 $f_{2}$ として、 $f_{1} + k f_{2} = 0$ とおく。これを「束」という。

なぜ交点を通るのか。交点では $f_{1} = 0$ かつ $f_{2} = 0$ だから、 $f_{1} + k f_{2}$ も $0$ になる。 $k$ が何であっても交点を通る。

あとは $k$ を動かし、条件(原点を通る)に合う $1$ つを選ぶ。交点を通る図形族をパラメータ $k$ の束で表す、これが強力な発想だ。

重要2円の交点を通る図形の束:

f_{1} + k f_{2} = 0

(

f_{1} = 0

、

f_{2} = 0

は2円)

① なぜ $f_{1} + k f_{2} = 0$ が交点を通るのか。 2円の交点では $f_{1} = 0$ かつ $f_{2} = 0$ が同時に成り立つ。すると、どんな $k$ でも $f_{1} + k f_{2} = 0 + k \cdot 0 = 0$ 。つまり $f_{1} + k f_{2} = 0$ は $k$ の値によらず必ず2つの交点を通る。 $k$ を1つ選ぶごとに、交点を通る図形が1つ決まる。

2円を $f_{1} = x^{2} + y^{2} - 4$ 、 $f_{2} = (x - 1)^{2} + y^{2} - 3 = x^{2} + y^{2} - 2 x - 2$ とすると、交点を通る図形は

$(x^{2} + y^{2} - 4) + k (x^{2} + y^{2} - 2 x - 2) = 0$

② 原点を通る条件で $k$ を決める。 $(0, 0)$ を代入する。

$(0 - 4) + k (0 - 0 - 2) = 0 \Rightarrow - 4 - 2 k = 0 \Rightarrow k = - 2$

③ $k = - 2$ を戻す。

$(x^{2} + y^{2} - 4) - 2 (x^{2} + y^{2} - 2 x - 2) = 0$

$- x^{2} - y^{2} + 4 x = 0 \Rightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x = 0 \Rightarrow (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$

2円(青)の交点を通り原点を通る円(赤)

まとめ:交点では2円の式がどちらも $0$ だから、 $f_{1} + k f_{2} = 0$ は $k$ を変えても必ず交点を通る。あとは「原点を通る」など1つの条件で $k$ を決めれば、求める図形が出る。

発展 — 一歩先へ。 一直線上にない $3$ 点を通る円は、ただ $1$ つに決まる(三角形の外接円と同じ事実)。ここでは $2$ 交点と原点の $3$ 点が、その円を決めている。

$3$ 点 $(x_{i}, y_{i})$ を通る円は、行列式でも書ける。第 $1$ 行を $(x^{2} + y^{2}, x, y, 1)$ 、下の $3$ 行に $3$ 点の値を並べた $4$ 次の行列式を $0$ とおくと、その $3$ 点を通る円の方程式になる。

束は「 $2$ 交点を通る」ところまでで $1$ 文字の自由度を残し、原点通過の $1$ 条件でそれを消す。 $3$ 点あれば円が一意、 $2$ 点なら $1$ 文字残る、という自由度の勘定が円の決定の芯だ。

答

$(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$

別解

別解 — 交点を実際に求めて円を決める(手を動かす確実なルート)。 束を使わず、 $2$ 円の交点を直接求める。 $2$ 円の式を引くと $(x^{2} + y^{2} - 4) - {(x - 1)^{2} + y^{2} - 3} = 0$ 、整理して $2 x - 2 = 0$ 、 $x = 1$ 。 $x = 1$ を $x^{2} + y^{2} = 4$ に入れて $y^{2} = 3$ 、 $y = \pm 3$ 。交点は $(1, 3)$ と $(1, - 3)$ 。

この $2$ 交点は $x$ 軸について対称だ。 $3$ 点 $(1, 3)$ 、 $(1, - 3)$ 、原点はどれも $x$ 軸に関して対称な配置なので、求める円の中心は $x$ 軸上にある。中心を $(a, 0)$ とおく。

原点を通るから半径の $2$ 乗は $a^{2}$ 。交点 $(1, 3)$ を通るから $(1 - a)^{2} + 3 = a^{2}$ 、 $1 - 2 a + a^{2} + 3 = a^{2}$ 、 $a = 2$ 。中心 $(2, 0)$ 、半径 $2$ 。円は $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 。

束で一気に選ぶ本解に対し、こちらは交点を出して図形の対称性で中心を絞る。同じ円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ に着く。

ポイント

2円の交点を通る図形 → $f_{1} + k f_{2} = 0$ の束で表す。
通る点を代入して $k$ を1つに決める。

よくある間違い

$f_{2} = (x - 1)^{2} + y^{2} - 3$ を $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2$ に展開し損ね、束の式や代入で符号を誤る。
原点 $(0, 0)$ を代入する条件式 $- 4 - 2 k = 0$ を立て違え、 $k$ の値を取り違える。
$k = - 2$ を戻したあと $- x^{2} - y^{2} + 4 x = 0$ の全体を整理せず、 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ に直し切れない。