円の方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円の定義は「中心から等距離にある点の集まり」。距離の公式を、そのまま式にすればよい。

$$\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=r⟹(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

(1) 中心 $(1,-2)$、半径 $3$ を代入する。

$$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$$

$y-(-2)=y+2$ — 符号の反転に注意。 右辺は $r^2=9$($3$ ではない)。

(2)は逆の操作。 展開された形($x^2+y^2+\cdots =0$)から、中心と半径を読み取る。

やることは平方完成だ。 $x$ と $y$、それぞれについて。

$$x^2-4x=(x-2{)}^2-4,y^2+6y=(y+3{)}^2-9$$

数Iの平方完成が、そのまま使える。

(1) 中心 $(1,-2)$、半径 $3$ を入れる。

$$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$$

(2) $x$、$y$ ごとに平方完成する。

$$x^2-4x=(x-2{)}^2-4,y^2+6y=(y+3{)}^2-9$$

もとの式に戻して整理する。

$$(x-2{)}^2-4+(y+3{)}^2-9-3=0\Rightarrow (x-2{)}^2+(y+3{)}^2=16$$

よって中心 $(2,-3)$、半径 $\sqrt{16}=4$。

発展 — 一歩先へ。 円の方程式 $x^2+y^2+\ell x+my+n=0$ には、$3$ つの未知数($\ell$、$m$、$n$)がある。

ということは、$3$ 個の条件があれば円が決まる。

「$3$ 点を通る円は、ただ $1$ つに決まる」(ただし $3$ 点が一直線上にないとき)— これが外接円の存在の、代数的な証明だ。$3$ 点を代入すれば、$\ell$、$m$、$n$ についての連立 $1$ 次方程式が $3$ 本立ち、解がただ $1$ 組に決まる。

数Aの図形の性質では、「$3$ 辺の垂直二等分線が $1$ 点で交わる」という幾何的な議論で外心の存在を示した。 座標では、連立方程式が解けるという代数的な事実がそれを保証する。

同じ定理の、$2$ つの証明。 どちらも正しく、どちらも美しい。

そして、円と直線の"次数"の違いに注目したい。

• 直線: $ax+by+c=0$ — 未知数 $2$ 個(比を除く)→ $2$ 点で決まる
• 円: $x^2+y^2+\ell x+my+n=0$ — 未知数 $3$ 個 → $3$ 点で決まる
• $2$ 次曲線一般(楕円・双曲線・放物線): $a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0$ — 未知数 $5$ 個 → $5$ 点で決まる

「決めるのに必要な点の数」が、図形の自由度を表している。

$5$ 点を通る $2$ 次曲線がただ $1$ つ決まる、という事実は、天文学で決定的な役割を果たした。惑星の軌道($2$ 次曲線)は、$5$ 回の観測で確定する — ガウスは $1801$ 年、わずかな観測データから小惑星ケレスの軌道を計算し、見失われていた天体の再発見を導いた。

方程式の未知数の個数が、「何回観測すれば分かるか」を教えてくれる。 数学が、空を予言する。

別解

(2)は、平方完成をせずに「公式」で一発で読める。 そして、その公式が円が存在しない場合まで教えてくれる。

一般形の円の方程式。

$$x^2+y^2+\ell x+my+n=0$$

この形なら、中心と半径が直接読める。

$$\text{中心}\left(-\frac{\ell }{2},-\frac{m}{2}\right),\text{半径}r=\sqrt{{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2+{\left(\frac{m}{2}\right)}^2-n}$$

今回の $x^2+y^2-4x+6y-3=0$ に当てはめる。 $\ell =-4$、$m=6$、$n=-3$。

中心: $\left(-\frac{-4}{2},-\frac{6}{2}\right)=(2,-3)$ ✓

半径: $\sqrt{(-2{)}^2+3^2-(-3)}=\sqrt{4+9+3}=\sqrt{16}=4$ ✓

平方完成を書かずに、答えが出た。

「$x$ の係数の半分に、マイナスをつける」 — これが中心の座標だ。$-4$ の半分は $-2$、符号を変えて $2$。$6$ の半分は $3$、符号を変えて $-3$。暗算でできる。

そして、この公式は「円が存在するか」まで教えてくれる。

半径の根号の中身に注目してほしい。

$${\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2+{\left(\frac{m}{2}\right)}^2-n$$

これが負なら、半径が虚数になってしまう。 つまり円は存在しない。

$3$ つの場合がある。

例を見よう。 $x^2+y^2+1=0$ は、$\ell =m=0$、$n=1$ なので

$$r^2=0+0-1=-1<0$$

円ではない。 当たり前だ — $x^2+y^2=-1$ を満たす実数 $x$、$y$ は存在しない($2$ 乗の和が負になることはない)。

$x^2+y^2-2x+1=0$ なら? $(x-1{)}^2+y^2=0$ となり、点 $(1,0)$ ただ $1$ 点だけ。半径 $0$ の円である。

「円の方程式のように見えても、円とは限らない」 — この確認を忘れないこと。入試では「$x^2+y^2+kx+2y+5=0$ が円を表すような $k$ の範囲を求めよ」といった形で問われる。

答えは「根号の中身 $>0$」 から

$${\left(\frac{k}{2}\right)}^2+1-5>0⟹k^2>16⟹k<-4\text{または}k>4$$

式の形だけを見て「円だ」と決めつけない。 半径が実在するかを、必ず確かめる。