直線に関する対称点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直線に関する対称点は、$2$ つの条件で決まる。対称点 ${\mathrm{A}}^{\prime }(s,t)$ とおいて式にする。

条件1: 線分 ${\mathrm{AA}}^{\prime }$ の中点が直線 $\ell$ 上にある(折り返しの軸だから、中点は軸の上)。

条件2: ${\mathrm{AA}}^{\prime }$ が $\ell$ に垂直(折り返しは軸に垂直な向き)。$\ell$ の傾き $2$ に対し、${\mathrm{AA}}^{\prime }$ の傾きは $-\frac{1}{2}$。この $2$ 式を連立して $s,t$ を解く。

① 垂直条件。 $\ell$ の傾きは $2$。${\mathrm{A}}^{\prime }(s,t)$ として ${\mathrm{AA}}^{\prime }$ の傾きは $\frac{t-2}{s-1}$。垂直だから傾きの積が $-1$:

$$\frac{t-2}{s-1}\cdot 2=-1⟹2(t-2)=-(s-1)⟹s+2t=5$$

② 中点条件。 中点 $\left(\frac{1+s}{2},\frac{2+t}{2}\right)$ が $\ell :y=2x-1$ 上:

$$\frac{2+t}{2}=2\cdot \frac{1+s}{2}-1⟹2+t=2(1+s)-2=2s⟹t=2s-2$$

③ 連立する。 $s+2t=5$ に $t=2s-2$ を代入:$s+2(2s-2)=5$、$5s-4=5$、$s=\frac{9}{5}$。$t=2\cdot \frac{9}{5}-2=\frac{8}{5}$。よって

$${\mathrm{A}}^{\prime }\left(\frac{9}{5},\frac{8}{5}\right)$$

まとめ:対称点は「中点が直線上 + 垂直」の連立。傾きの積 $=-1$(垂直)と、中点が直線を満たす、の $2$ 本で $s,t$ が決まる。図で $\mathrm{A}$ と ${\mathrm{A}}^{\prime }$ が $\ell$ をはさんで反対側にあることを確かめると安心。

発展 — 一歩先へ。 直線に関する対称移動(折り返し)は $1$ 次変換(と平行移動)で書け、$2$ 回折り返すと元に戻る(対合)。直線 $y=x$ に関する対称なら $(x,y)\to (y,x)$ と座標が入れ替わる。対称移動は合同変換の基本で、$2$ 本の直線に順に折り返すと回転(または平行移動)になる。

別解

別解 — 垂線の足を求めて $2$ 倍する(視覚で捉えるルート)。 対称点 ${\mathrm{A}}^{\prime }$ は、$\mathrm{A}$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ を使って、${\mathrm{A}}^{\prime }=2\mathrm{H}-\mathrm{A}$($\mathrm{H}$ が $\mathrm{A}$ と ${\mathrm{A}}^{\prime }$ の中点)と書ける。

まず垂線の足 $\mathrm{H}$。$\mathrm{A}(1,2)$ を通り $\ell$($傾き2$)に垂直な直線は傾き $-\frac{1}{2}$: $y-2=-\frac{1}{2}(x-1)$。$\ell :y=2x-1$ と連立する。

$2x-1=-\frac{1}{2}(x-1)+2$ を解くと $x=\frac{7}{5}$、$y=\frac{9}{5}$。$\mathrm{H}\left(\frac{7}{5},\frac{9}{5}\right)$。

${\mathrm{A}}^{\prime }=2\mathrm{H}-\mathrm{A}=\left(\frac{14}{5}-1,\frac{18}{5}-2\right)=\left(\frac{9}{5},\frac{8}{5}\right)$。

${\mathrm{A}}^{\prime }$ を $2$ 条件で連立する本解に対し、「垂線の足 $\mathrm{H}$ を先に求め、$\mathrm{A}$ を $\mathrm{H}$ で折り返す」と、対称点の意味(軸への垂線の延長で等距離)がそのまま計算になる。${\mathrm{A}}^{\prime }=2\mathrm{H}-\mathrm{A}$ は「$\mathrm{H}$ が中点」を式にしたものだ。