数学II / 図形と方程式

直交する2直線の交点の軌跡

最難関編軌跡直交

問題

実数 $t$ に対し2直線 $ℓ : t x - y = 0$ 、 $m : x + t y = t + 2$ を考える。 $t$ が全ての実数を動くとき、 $ℓ$ と $m$ の交点 P の軌跡を求めよ。

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$ℓ$ が通る定点は? $m$ が通る定点は?( $t$ をくくって「 $t$ によらず通る点」を探す。)2直線の傾きの積を計算すると、交点 P の位置に強い条件が出る。

解答・解説

方針

$ℓ$ は原点を通り、 $m$ は定点 $(2, 1)$ を通る。2直線の傾きが $t$ と $- \frac{1}{t}$ で直交することに気づくと、P は2定点を直角に見込む点=タレスの円上。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 パラメータ入りの2直線の交点は、 $t$ を力ずくで消してもよい。だがその前に、各直線が通る定点と傾きを観察すると構造が見える。

$ℓ : y = t x$ は原点を通り、傾き $t$ 。 $m$ は $(x - 2) + t (y - 1) = 0$ と書き直せて、 $t$ によらず定点 $(2, 1)$ を通り、傾きは $- \frac{1}{t}$ 。

傾きの積は $t \cdot (- \frac{1}{t}) = - 1$ 。つまり2直線は常に直交している。すると交点 P は、2定点 O と $(2, 1)$ を直角に見込む点。直角に見込む点の集まりは、2定点を直径の両端とする円だ。計算の前に、答えの正体が見えている。

定理線分 AB を直径とする円周上の点 P では

∠ APB = 9 0^{\circ}

(タレスの定理)

① 定点と傾き。 $ℓ : y = t x$ は原点 O を通り傾き $t$ 。 $m : x + t y - (t + 2) = 0$ を $t$ で整理すると $(x - 2) + t (y - 1) = 0$ 。 $t$ によらず成り立つには $x = 2, y = 1$ 、すなわち $m$ は定点 $B (2, 1)$ を通る。傾きは $- \frac{1}{t}$ 。

② 直交の確認。 $ℓ, m$ の傾きの積は $t \cdot (- \frac{1}{t}) = - 1$ (ともに傾きが定義される $t \neq = 0$ のとき)。よって $ℓ ⊥ m$ 。

③ タレスの円。 交点 P は $ℓ$ 上(O を通る)かつ $m$ 上(B を通る)で、 $ℓ ⊥ m$ だから $∠ OPB = 9 0^{\circ}$ 。ゆえに P は線分 OB を直径とする円周上。中心は OB の中点 $(1, \frac{1}{2})$ 、半径は $\frac{OB}{2} = \frac{5}{2}$ 。

$(x - 1)^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{5}{4}$

ただし1点だけ例外がある。 $ℓ : y = t x$ は原点を通る直線のうち垂直線 $x = 0$ だけは表せない( $(0, 1)$ を通るには $1 = t \cdot 0$ が必要で、不可能)。よって交点 P は点 $(0, 1)$ には決してならず、軌跡はこの円から点 $(0, 1)$ を除いたものになる。なお定点 $B (2, 1)$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき実際に交点になるので、除かない。

2直線は傾き t と −1/t で常に直交。交点 P は O と B(2,1) を直角に見込む → P は OB を直径とする円周上。白丸の (0,1) だけは ℓ が通れず除く

まとめ: $t$ を力ずくで消さず、「各直線の定点+傾きの積 $= - 1$ 」から直交を見抜くのが急所。直交2直線の交点は2定点を直径とする円(タレスの円)を描く、という図形的結論に一気に到達できる。除外点は「 $y = t x$ が表せない垂直方向」から生まれる。パラメータ表示の軌跡では、表せない例外がないかを最後に必ず検分する。

発展 — 一歩先へ。 P を $t$ で書くと $(\frac{t + 2}{1 + t ^{2}}, \frac{t ( t + 2 )}{1 + t ^{2}})$ 。 $t \to \pm \infty$ で P は $(0, 1)$ に限りなく近づくが、届かない。実数直線 $t$ で円をなぞると必ず1点だけ残る。円と直線を「1点を除いて」対応させるこの現象は、複素数平面の1次分数変換や立体射影で主役になる。

答

円 $(x - 1)^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{5}{4}$ (ただし点 $(0, 1)$ を除く)

別解

$t$ を消去する(手を動かす機械ルート)。 定点や直交に気づかなくても、連立して $t$ を消せば必ず出る。

$ℓ$ より $x \neq = 0$ のとき $t = \frac{y}{x}$ 。これを $m$ に代入して分母を払うと

$x + \frac{y ^{2}}{x} = \frac{y}{x} + 2 ⟹ x^{2} + y^{2} = y + 2 x$

整理して $x^{2} + y^{2} - 2 x - y = 0$ 。平方完成すれば本解と同じ円になる。

残る検分は2つ。 $x = 0$ のときは $ℓ$ が $y = 0$ となり、交点は $t = - 2$ のときの $(0, 0)$ 。これは円上にあるので含める。逆に、円上で $x = 0$ となるもう1つの点 $(0, 1)$ は、 $t = \frac{y}{x}$ が作れず(どの $t$ でも $ℓ$ が通れず)実現しない。除くべき点が「 $x = 0$ の場合分け」から自然にあぶり出される。

図形ルート(本解)は円の正体を先に見抜き、消去ルートは式変形だけで到達する。除外点の検出まで込みなら、2つを併用するのがいちばん安全だ。

ポイント

$ℓ$ は O、 $m$ は定点 $(2, 1)$ を通る。
傾きの積 $= - 1$ で直交 → タレスの円。
中心 $(1, \frac{1}{2})$ 、半径 $\frac{5}{2}$ 。点 $(0, 1)$ を除く。

よくある間違い

除外点を「 $m$ の定点 $(2, 1)$ 」と取り違える。 $(2, 1)$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき実際に交点になる。除くのは $ℓ : y = t x$ がどの $t$ でも通れない $(0, 1)$ ( $1 = t \cdot 0$ は不可能)。
傾きの積 $= - 1$ の議論だけで済ませ、 $t = 0$ ( $ℓ$ が水平で $m$ が垂直、傾きが定義できない)の検分を飛ばす。このときも2直線は直交し、交点 $(2, 0)$ は円上にある。
$t = \frac{y}{x}$ を代入するとき $x = 0$ の場合を分けず、 $(0, 0)$ を落とす(または検分なしで含める)。