数学II / 図形と方程式

2つの円の位置関係

★★ 標準2円の位置関係

問題

2つの円 $x^{2} + y^{2} = 4$ と $(x - 5)^{2} + y^{2} = 9$ の位置関係を答えよ。

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中心間の距離と $2$ つの半径 — この $3$ つの数の大小関係で位置関係はすべて決まる。図をかいて、半径の和・差と比べよう。

解答・解説

方針

2円の位置関係は、中心間の距離 $d$ と、半径の和・差を比べて決まる。 $d = r_{1} + r_{2}$ なら外接。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2円の位置関係は、3つの数の比べ合いで決まる。中心間の距離 $d$ 、半径の和 $r_{1} + r_{2}$ 、半径の差 $∣ r_{1} - r_{2} ∣$ だ。

中心 $(0, 0)$ と $(5, 0)$ で $d = 5$ 。半径は $2$ と $3$ で、和は $5$ 、差は $1$ 。

$d = r_{1} + r_{2}$ がぴったり成立。だから外接(外側で1点で接する)だ。数直線に $d$ と和・差を並べて位置を見る癖をつけると、5分類(離れる・外接・交わる・内接・含む)で迷わない。

公式2円の位置関係は、中心間距離

d

と

r_{1} + r_{2}

・

∣ r_{1} - r_{2} ∣

の大小で決まる

1つ目の円は中心 $(0, 0)$ 、半径 $r_{1} = 2$ 。2つ目は中心 $(5, 0)$ 、半径 $r_{2} = 3$ 。

中心間の距離は

$d = (5 - 0)^{2} + 0^{2} = 5$

半径の和は $r_{1} + r_{2} = 2 + 3 = 5$ 。 $d = r_{1} + r_{2}$ なので、2円は外接(外側で1点だけ接する)。

中心間距離 5 = 半径の和(2+3)→ 外接

発展 — 一歩先へ。 $d$ を動かすと、位置関係は「含む → 内接 → 交わる → 外接 → 離れる」と連続的に移り変わる。境目の内接・外接が等号、あいだの「交わる」が不等式 $∣ r_{1} - r_{2} ∣ < d < r_{1} + r_{2}$ で、これは三角形の成立条件と同じ形をしている(中心2つと交点で三角形ができるからだ)。

共通接線の本数(0〜4本)も、この5分類とぴったり連動する。位置関係の判定は、接線を数える問題の前半戦でもある。

答

外接する(1点で接する)

別解

実際に連立して、共有点を数える正面ルートでも確かめられる。

2式を引き算すると $x^{2}$ 、 $y^{2}$ が消える。

$x^{2} + y^{2} - {(x - 5)^{2} + y^{2}} = 4 - 9 ⟹ 10 x - 25 = - 5 ⟹ x = 2$

$x = 2$ を第1式に入れると $y^{2} = 4 - 4 = 0$ 、つまり $y = 0$ の1つだけ。

共有点は $(2, 0)$ の1個。よって2円は接する。しかも接点まで具体的に手に入った。

距離の比較(本解)は速く、連立(別解)は接点の座標という追加情報をくれる。「位置関係だけなら距離、接点や交点が要るなら連立」という役割分担で覚えておくとよい。

ポイント

$d = r_{1} + r_{2}$ → 外接、 $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ → 内接、間なら2点で交わる。
まず中心間距離と2つの半径を出す。

よくある間違い

外接( $d = r_{1} + r_{2}$ )と内接( $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ )を混同する
半径を $4$ と $9$ とする( $r^{2}$ の値と半径の取り違え)
「接する」とだけ答えて、外接か内接かまで特定しない