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数学II

三角関数 加法定理・合成

一般角と弧度法、三角関数のグラフ、方程式・不等式、加法定理とその応用、三角関数の合成を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 度とラジアンの変換
  2. 扇形の弧長と面積
  3. 三角関数の値(単位円)
  4. 三角関数の相互関係
  5. 三角関数の性質
  6. 特殊角の三角関数の値
  7. 三角関数のグラフ(振幅・周期)
  8. グラフの平行移動
  9. 三角方程式(基本)
  10. 三角不等式(基本)
  11. 加法定理
  12. 2倍角の公式

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 扇形の周と面積の最大
  2. tan から sin・cos
  3. 三角関数の式の簡約
  4. グラフの振幅・周期・平行移動
  5. 三角方程式(2倍角)
  6. 三角不等式
  7. 2直線のなす角
  8. 2倍角・半角
  9. 三角関数の合成
  10. 合成を利用する最大・最小
  11. sinθ+cosθ の置換
  12. 積和の公式

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 合成を使う三角方程式
  2. 合成の最大・最小(範囲つき)
  3. sinθ+cosθ の置換(2)
  4. 3倍角の公式
  5. 和積を使う三角方程式
  6. 2倍角を使う最大・最小
  7. 正接の加法定理の応用
  8. 3項の和の三角方程式

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 正接の値から2倍角を求める
  2. 2倍角を用いる三角方程式
  3. sin³θ+cos³θ の最大・最小
  4. cos3θ=cos2θ を解く
  5. 2直線のなす角
  6. 分数式の最大・最小(傾きとみる)
  7. 三角関数の合成を用いる不等式
  8. cosの積の値(2倍角の繰り返し)

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 余弦の和の閉じた式(複素数と等比数列)
  2. 対称性で解く定積分(置換 x→π/2−x)
  3. 正接の2乗の和(ド・モアブルと多項式の根)
  4. 余弦の無限積(2倍角の反復)
  5. 三角形の正弦の和の最大(凸性と制約)
  6. 対数と正弦の定積分(対称性の合わせ技)
  7. 等間隔にずらした余弦の2乗の和(2倍角と1のn乗根)
  8. 正弦の5乗を1次の正弦で表す(ド・モアブルと二項)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 4つの正接の和の値
  2. 60°をはさんで対称な3つの正弦の積
  3. 4項の余弦の方程式
  4. 和が一定の2角の余弦の平方和
  5. 正弦と余弦の対称な連立方程式
  6. 5倍角の公式と cos(π/10)
  7. 三角方程式の解の個数の場合分け
  8. cos36°−cos72° の値

三角関数の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問