三角関数 — 加法定理・合成

(1) $60^{\circ }$、$135^{\circ }$ をラジアンで表せ。

(2) $\frac{\pi }{6}$、$\frac{5}{6}\pi$ を度で表せ。

半径 $6$、中心角 $\frac{2}{3}\pi$ の扇形の弧の長さ $\ell$ と面積 $S$ を求めよ。

$\theta =\frac{2}{3}\pi$ のとき、$\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$ の値を求めよ。

$\theta$ が第2象限の角で、$\sin \theta =\frac{3}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

次の値を、$\frac{\pi }{5}$ の三角関数を使って表せ。

(1) $\sin \left(\pi -\frac{\pi }{5}\right)$

(2) $\cos \left(\pi +\frac{\pi }{5}\right)$

(3) $\sin \left(-\frac{\pi }{5}\right)$

次の値を求めよ。

(1) $\sin \frac{5}{6}\pi +\cos \frac{2}{3}\pi$

(2) $\tan \frac{3}{4}\pi$

関数 $y=2\sin \theta$ について、値域(とりうる $y$ の範囲)と周期を答えよ。

関数 $y=\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$ のグラフは、$y=\sin \theta$ のグラフをどのように平行移動したものか答えよ。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、方程式 $\sin \theta =\frac{1}{2}$ を解け。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、不等式 $\cos \theta >\frac{1}{2}$ を解け。

加法定理を使って、$\sin 75^{\circ }$ の値を求めよ。

$\theta$ は第1象限の角で、$\sin \theta =\frac{3}{5}$ とする。$\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の値を求めよ。

周の長さが $20$ の扇形のうち、面積が最大になるものの半径と、そのときの面積を求めよ。

$\theta$ が第3象限の角で、$\tan \theta =2$ のとき、$\sin \theta$、$\cos \theta$ の値を求めよ。

$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)+\cos (\pi -\theta )+\sin (\pi +\theta )$ を簡単にせよ。

関数 $y=2\sin \left(2\theta -\frac{\pi }{3}\right)$ の振幅、周期を求めよ。また、$y=2\sin 2\theta$ をどのように平行移動したものか答えよ。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、方程式 $\sin 2\theta =\cos \theta$ を解け。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、不等式 $2\sin \theta -1\ge 0$ を解け。

2直線 $y=2x$ と $y=-3x$ のなす角 $\theta$($0<\theta \le \frac{\pi }{2}$)を求めよ。

$\cos \theta =\frac{1}{3}$ のとき、$\cos 2\theta$ と ${\sin }^2\frac{\theta }{2}$ の値を求めよ。

$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$ を $r\sin (\theta +\alpha )$ の形に変形せよ($r>0$、$-\pi <\alpha \le \pi$)。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、$y=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$ の最大値と最小値を求めよ。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、$y=\sin 2\theta +2(\sin \theta +\cos \theta )$ の最大値と最小値を求めよ。

$\sin 75^{\circ }\cos 15^{\circ }$ の値を、積を和に直す公式を使って求めよ。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta =1$ を解け。

$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ のとき、$y=\sin \theta +\cos \theta$ の最大値と最小値を求めよ。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、$y=\sin 2\theta +2\sqrt{2}(\sin \theta +\cos \theta )$ の最大値と最小値を求めよ。

$\sin \theta =\frac{1}{3}$ のとき、$\sin 3\theta$ の値を求めよ。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、方程式 $\sin \theta +\sin 3\theta =0$ を解け。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、$y=\cos 2\theta +4\sin \theta$ の最大値と最小値を求めよ。

$\tan \alpha =\frac{1}{2}$、$\tan \beta =\frac{1}{3}$ で、$\alpha$、$\beta$ がともに鋭角のとき、$\alpha +\beta$ の値を求めよ。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、方程式 $\sin \theta +\sin 2\theta +\sin 3\theta =0$ を解け。

$\tan \theta =2$ のとき、$\sin 2\theta$、$\cos 2\theta$、$\tan 2\theta$ の値を求めよ。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、方程式 $\cos 2\theta +3\sin \theta -2=0$ を解け。

$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ のとき、${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$ の最大値と最小値を求めよ。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、方程式 $\cos 3\theta =\cos 2\theta$ を解け。

$2$ 直線 $y=3x$ と $y=\frac{1}{2}x$ のなす鋭角を $\theta$ とするとき、$\theta$ を求めよ。

$\theta$ がすべての実数を動くとき、$y=\frac{\sin \theta +2}{\cos \theta +2}$ の最大値と最小値を求めよ。

$0\le \theta <2\pi$ のとき、不等式 $\sin \theta +\cos \theta \ge 1$ を解け。

$\cos 20°\cos 40°\cos 80°$ の値を求めよ。

$\sin \frac{\theta }{2}\ne 0$ とする。$\sum _{k=1}^n\cos k\theta$ を $\theta ,n$ の式で表せ。

定積分 ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$ を求めよ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=1}^n{\tan }^2\frac{k\pi }{2n+1}$ を求めよ。

$0<\theta <\pi$ とする。(1) $\prod _{k=1}^n\cos \frac{\theta }{2^k}=\frac{\sin \theta }{2^n\sin \frac{\theta }{2^n}}$ を示せ。

(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }\prod _{k=1}^n\cos \frac{\theta }{2^k}$ を求めよ。

三角形の $3$ つの内角 $A,B,C$($A+B+C=\pi$、いずれも正)に対し、$\sin A+\sin B+\sin C$ の最大値を求めよ。

$I={\int }_0^{\pi /2}\log (\sin x)dx$ の値を求めよ(収束することは認めてよい)。

$n\ge 2$ とする。$\sum _{k=0}^{n-1}{\cos }^2\left(\theta +\frac{k\pi }{n}\right)$ を求めよ。

${\sin }^5\theta$ を $\sin \theta ,\sin 3\theta ,\sin 5\theta$ の $1$ 次式で表せ。

$\tan 9^{\circ }-\tan 27^{\circ }-\tan 63^{\circ }+\tan 81^{\circ }$ の値を求めよ。

(1) 次の等式を示せ。

$$\sin \theta \sin (60^{\circ }-\theta )\sin (60^{\circ }+\theta )=\frac{1}{4}\sin 3\theta$$

(2) $\sin 20^{\circ }\sin 40^{\circ }\sin 80^{\circ }$ の値を求めよ。

$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ のとき、方程式

$$\cos \theta +\cos 3\theta +\cos 5\theta +\cos 7\theta =0$$

を解け。

実数 $\alpha ,\beta$ が $\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$ を満たしながら動くとき、${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta$ の最大値と最小値を求めよ。

$0\le x<2\pi ,0\le y<2\pi$ のとき、連立方程式

$$\sin x+\sin y=1,\cos x+\cos y=\sqrt{3}$$

を解け。

(1) $\cos 5\theta$ を $\cos \theta$ の多項式で表せ。

(2) $\cos \frac{\pi }{10}$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$\theta$ の方程式

$$\cos 2\theta +a\sin \theta =0(0\le \theta <2\pi )$$

の解の個数を、$a$ の値によって場合分けして求めよ。

(1) $\cos 72^{\circ }=2{\cos }^{2}36^{\circ }-1$ および $\cos 36^{\circ }=1-2{\cos }^{2}72^{\circ }$ が成り立つことを示せ。

(2) $\cos 36^{\circ }-\cos 72^{\circ }=\frac{1}{2}$ を示せ。

(3) $\cos 36^{\circ }$ の値を求めよ。