積和の公式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $75^{\circ }$ も $15^{\circ }$ も単独では値の出しにくい角だが、和は $90^{\circ }$、差は $60^{\circ }$ ときれいだ。

積を和に直す公式 $\sin A\cos B=\frac{1}{2}\{\sin (A+B)+\sin (A-B)\}$ の出番である。

$$\sin 75^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{1}{2}(\sin 90^{\circ }+\sin 60^{\circ })=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

「角そのものは汚くても、和と差はきれい」という配置が、積和の公式のシグナルだ。

$A=75^{\circ }$、$B=15^{\circ }$ を入れる。$A+B=90^{\circ }$、$A-B=60^{\circ }$。

$$\sin 75^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{1}{2}\{\sin 90^{\circ }+\sin 60^{\circ }\}=\frac{1}{2}\left\{1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$$

計算して

$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

発展 — 一歩先へ。 積和の公式は、加法定理の足し算・引き算から生まれる($\sin (A+B)$ と $\sin (A-B)$ を足すと交差項が消える)。逆向きの和積の公式(和を積に直す)とペアで、どちらも加法定理の子である。

積和は数学IIIの積分($\int \sin 3x\cos xdx$ のような積の積分)で「積のままでは積分できない」壁を破る鍵になる。いま身につけた変形が、そのまま将来の道具だ。

別解

$75^{\circ }$ と $15^{\circ }$ の特別な関係に気づくと、公式1つ違いの近道が開く。

$75^{\circ }+15^{\circ }=90^{\circ }$。余角の関係だから $\sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }$。

すると問題の積は、同じものの積 — 2乗に化ける。

$$\sin 75^{\circ }\cos 15^{\circ }={\cos }^{2}15^{\circ }$$

${\cos }^2$ は半角(次数下げ)の公式で開ける。

$${\cos }^{2}15^{\circ }=\frac{1+\cos 30^{\circ }}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

積和ルートと同じ値だ。「まず角どうしの関係(和が $90^{\circ }$ か、差が特殊角か)を観察してから公式を選ぶ」。この観察の一呼吸が、公式当てはめを1段賢くする。