数学II / 三角関数

tan から sin・cos

★★ 標準相互関係

問題

$θ$ が第3象限の角で、 $tan θ = 2$ のとき、 $sin θ$ 、 $cos θ$ の値を求めよ。

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$tan$ から出発するときに使える相互関係がもう $1$ 本あった( $tan$ と $cos$ を結ぶもの)。大きさが出たら、象限で符号を確定してから $sin$ へ進もう。

解答・解説

$1 + tan^{2} θ = \frac{1}{cos ^{2} θ}$ から $cos θ$ の大きさが出る。符号は第3象限で決める( $cos < 0$ )。 $sin$ は $tan \times cos$ 。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $tan θ$ から他の2つへ渡る橋は、相互関係 $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{cos ^{2} θ}$ だ。

これで $cos^{2} θ$ が出る。2乗から戻すときの符号は、式ではなく「第3象限」という情報が決める( $cos < 0$ )。

$sin θ$ は $tan θ \times cos θ$ の掛け算で仕上げる。値の計算と符号の決定を、別々の仕事として処理するのが安全だ。

公式

1 + tan^{2} θ = \frac{1}{cos ^{2} θ}

$tan θ = 2$ を入れる。

$1 + 2^{2} = \frac{1}{cos ^{2} θ} \Rightarrow cos^{2} θ = \frac{1}{5}$

第3象限なので $cos θ < 0$ 。

$cos θ = - \frac{1}{5} = - \frac{5}{5}$

$sin θ = tan θ \cdot cos θ$ より

$sin θ = 2 \times (- \frac{1}{5}) = - \frac{2}{5} = - \frac{2 5}{5}$

第3象限で $sin < 0$ とも合う。

第3象限の点(cos<0, sin<0)。tanθ=2

発展 — 一歩先へ。 $tan θ$ が同じ値でも、角は第1象限と第3象限の2か所にある( $tan$ の周期は $π$ で、 $sin$ ・ $cos$ の半分)。「象限の指定がなければ答えは2組」という構造まで見えれば、この型は完成だ。

三角形で大きさ・絵で符号、という分業は数学I の鈍角の三角比から一貫している。単位円が座標平面の全象限に広がった今も、作法は変わらない。

答

$sin θ = - \frac{2 5}{5}$ 、 $cos θ = - \frac{5}{5}$

「絶対値は三角形、符号は絵」と分業する方法が、いちばん事故が少ない。

$tan θ = 2$ は「縦 $2$ ・横 $1$ 」の傾き。辺の比 $1 : 2 : 5$ の直角三角形を描けば、大きさだけなら

$∣ sin θ ∣ = \frac{2}{5}, ∣ cos θ ∣ = \frac{1}{5}$

と読み取れる(斜辺 $5$ 分の、縦と横)。

次に符号。第3象限は単位円の左下だから、 $x$ 座標( $cos$ )も $y$ 座標( $sin$ )も負。

$sin θ = - \frac{2 5}{5}, cos θ = - \frac{5}{5}$

公式ルートと同じ答えだ。 $tan$ が正なのに $sin$ 、 $cos$ がともに負という一見不思議な組み合わせも、「負÷負=正」と絵で腑に落ちる。