sinθ+cosθ の置換

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sin 2\theta$ と $\sin \theta +\cos \theta$ が同居している。この2つをつなぐ橋が、置きかえ $t=\sin \theta +\cos \theta$ だ。

$t^2=1+2\sin \theta \cos \theta =1+\sin 2\theta$ だから、$\sin 2\theta =t^2-1$。

$y=t^2+2t-1$ という $t$ の2次関数に化ける。あとは $t$ の動ける範囲を確定して、その区間での最大・最小を調べる。範囲を忘れた置きかえは事故のもとである。

① 置きかえの準備をする。 $t=\sin \theta +\cos \theta$ とおく。両辺を2乗すると、まん中に $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ が出る。

$$t^2=(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=1+2\sin \theta \cos \theta =1+\sin 2\theta$$

よって $\sin 2\theta =t^2-1$。これで $\sin 2\theta$ も $t$ で書けた。

② $t$ の動く範囲を出す。 $t=\sin \theta +\cos \theta$ を合成すると $t=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。$\sin$ 部分が $-1$〜$1$ なので

$$-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$$

③ $y$ を $t$ だけの式にする。 与式に代入する。

$$y=\sin 2\theta +2(\sin \theta +\cos \theta )=(t^2-1)+2t=t^2+2t-1=(t+1{)}^2-2$$

④ $t$ の範囲で2次関数の最大・最小を調べる。 $y=(t+1{)}^2-2$ は下に凸、頂点 $t=-1$。頂点 $t=-1$ は範囲 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ の中にあるので、最小はここ。

$$\text{最小}=(t+1{)}^2-2{|}_{t=-1}=-2$$

最大は、頂点から最も遠い端でとる。$t=-1$ から遠いのは $t=\sqrt{2}$ 側なので、そこで最大。

$$\text{最大}=(\sqrt{2}+1{)}^2-2=(2+2\sqrt{2}+1)-2=1+2\sqrt{2}$$

まとめ:$\sin \theta +\cos \theta$ と $\sin \theta \cos \theta$(や $\sin 2\theta$)が同居したら、$t=\sin \theta +\cos \theta$ で1文字にする。忘れがちなのは $t$ の範囲 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$。範囲つきの2次関数は「頂点が範囲内か」「端はどちらが遠いか」で最大最小を決める。

発展 — 一歩先へ。 $t=\sin \theta +\cos \theta$ の置きかえが効くのは、$\sin \theta \cos \theta$(対称式)が $t$ で書けるからだ。数と式で学んだ「対称式は和と積で書ける」が、三角関数の世界で再稼働している。

$t=\sin \theta -\cos \theta$ なら $\sin 2\theta =1-t^2$ と符号が裏返る。和か差か、どちらの置きかえが合うかは、式に現れる項の符号が教えてくれる。

別解

$t$ の範囲 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ の出どころを、合成でなく「領域の目」で見ることもできる。

$t=\sin \theta +\cos \theta$ は、単位円上の点 $(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$ に対する $x+y$ の値だ。

「単位円上で $x+y$ はどこまで動けるか」— これは軌跡と領域で解いた「円と直線 $x+y=t$ が共有点を持つ $t$ の範囲」そのものである。

中心(原点)から直線 $x+y=t$ までの距離が半径 $1$ 以下、つまり

$$\frac{|t|}{\sqrt{2}}\le 1⟺-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$$

合成 $t=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ が出す範囲と一致する。

三角関数の置きかえの範囲問題が、直線を滑らせる領域の問題と同じだった — 単元をまたいで同じ絵が現れる好例だ。どちらの言葉でも範囲を出せるようにしておくと、検算が常に2重になる。