分数式の最大・最小(傾きとみる)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=\frac{\sin \theta +2}{\cos \theta +2}$ の最大最小。$\theta$ で微分するのは重い。

「$y=k$ とおいて、その $k$ が実現できる($\theta$ が存在する)条件」を探すのが定石。$y=k$ を分母払いして整理する。

$\sin \theta -k\cos \theta =2k-2$ の形にすると、左辺は合成できる。$\theta$ が存在する条件は「右辺が $\sqrt{1+k^2}$ 以下」。これが $k$ の不等式になる。

① $k$ とおいて整理する。 $y=k$ とおくと $\sin \theta +2=k(\cos \theta +2)$、すなわち

$$\sin \theta -k\cos \theta =2k-2$$

② 合成して存在条件。 左辺は $\sqrt{1+k^2}\sin (\theta +\alpha )$ と合成でき、$-\sqrt{1+k^2}\le (\text{左辺})\le \sqrt{1+k^2}$。$\theta$ が存在するには右辺がこの範囲に入ること:

$$|2k-2|\le \sqrt{1+k^2}$$

③ $2$ 乗して解く。 両辺 $\ge 0$ なので $2$ 乗して

$$(2k-2{)}^2\le 1+k^2⟹4k^2-8k+4\le 1+k^2⟹3k^2-8k+3\le 0$$

$k=\frac{8\pm \sqrt{64-36}}{6}=\frac{8\pm 2\sqrt{7}}{6}=\frac{4\pm \sqrt{7}}{3}$ より

$$\frac{4-\sqrt{7}}{3}\le k\le \frac{4+\sqrt{7}}{3}$$

よって最大値 $\frac{4+\sqrt{7}}{3}$、最小値 $\frac{4-\sqrt{7}}{3}$。

まとめ:分数の三角関数は「$=k$ とおいて合成 → $\theta$ の存在条件($|$右辺$|\le$振幅)」を $k$ の不等式に。幾何的には「単位円上の点と定点 $(-2,-2)$ を結ぶ傾き」で、その最大最小は定点から円への接線の傾き。

発展 — 一歩先へ。 「分数式 $\frac{\sin \theta +b}{\cos \theta +a}$ の最大最小 $=$ 定点 $(-a,-b)$ から単位円へ引いた接線の傾き」。定点が円の内部($a^2+b^2<1$)なら傾きは全実数を取り(最大最小なし)、円上なら接線 $1$ 本で片側だけ、外部なら $2$ 本で両側の極値。定点の位置で答えの様子が変わるのが面白い。

別解

別解 — 外の点から単位円を見込む「傾き」(得意な人向けの高い視点)。 $y=\frac{\sin \theta +2}{\cos \theta +2}=\frac{\sin \theta -(-2)}{\cos \theta -(-2)}$ は、定点 $(-2,-2)$ と単位円上の点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ を結ぶ直線の傾きそのもの。

$\theta$ が動くと、$(-2,-2)$ から単位円上の各点へ引いた直線の傾きが $y$。その最大・最小は、$(-2,-2)$ から円に引いた $2$ 本の接線の傾きで実現する。

接線の傾きを $k$ とすると、直線 $y+2=k(x+2)$ が原点から距離 $1$(半径)。$\frac{|2k-2|}{\sqrt{k^2+1}}=1$ を $2$ 乗して整理すると

$$3k^2-8k+3=0⟹k=\frac{4\pm \sqrt{7}}{3}.$$

合成で $|2k-2|\le \sqrt{1+k^2}$ を解く本解と、同じ $2$ 次不等式・方程式に帰着する。$(-2,-2)$ は原点から距離 $2\sqrt{2}>1$ なので円の外にあり、接線が $2$ 本引ける。「分数式 $=$ 傾き」と読むと、最大最小が接線という図形の言葉になる。