対称性で解く定積分(置換 x→π/2−x)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この積分は原始関数を正面から探すと苦しい。区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ の形に注目する。

置換 $x\to \frac{\pi }{2}-x$ をすると、区間はそのまま、$\sin$ と $\cos$ だけが入れ替わる。つまり分子が $\cos x$ になった積分 $J$ が現れる。

すると $I+J$ は分子の和が分母と同じになり、被積分関数がただの $1$。対称性で「和」を先に出し、$I=J$ で割り戻す作戦だ。

① 置換した積分。 $I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$。$x\to \frac{\pi }{2}-x$ とすると $\sin x\to \cos x,\cos x\to \sin x$ で $$J={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx.$$ 置換の対称性から $I=J$。

② 足して簡単にする。 $$I+J={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}.$$ ③ $I$ を求める。 $I=J$ より $2I=\frac{\pi }{2}$、よって $I=\frac{\pi }{4}$。

まとめ 原始関数が難しい積分は、区間の対称性 $x\to \frac{\pi }{2}-x$ で $\sin \leftrightarrow \cos$ を入れ替え、$I+J$ を約分するのが定石。答えは $\frac{\pi }{4}$。三角と積分(対称性)の融合。

発展 — 一歩先へ。 置換 $x\to a-x$ で値を出す技は一般に ${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx$ と書け、${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$ など多くの難積分を一撃にする。「原始関数が書けなくても値は出る」世界の代表選手である。

別解

別解 — 分子を「分母と分母の微分」で作る(得意な人向けの高い視点)。 分子 $\sin x$ を、分母 $s(x)=\sin x+\cos x$ とその微分 $s^{\prime }(x)=\cos x-\sin x$ の組合せで書いてみる。

$$\sin x=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)=\frac{1}{2}s(x)-\frac{1}{2}{s}^{\prime }(x).$$

すると被積分関数は $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{s^{\prime }(x)}{s(x)}$。後半は $\log |s(x)|$ の微分だから、原始関数が書けてしまう。

$$I={\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\log (\sin x+\cos x)\right]}_0^{\pi /2}=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}(\log 1-\log 1)=\frac{\pi }{4}.$$

対称性(本解)は値を鮮やかに出すが、この分解は原始関数そのものをくれる。$\frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}$ 型はすべてこの手で積分できる。