三角関数の相互関係

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 相互関係の公式を使う。

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

$$\sin \theta =\frac{3}{5}⟹{\cos }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}⟹\cos \theta =\pm \frac{4}{5}$$

ここで $\pm$ が出た。どちらか決めなければならない。

決め手は「第 $2$ 象限」という条件。 第 $2$ 象限では $x$ 座標が負、つまり $\cos \theta <0$。

$$\cos \theta =-\frac{4}{5}$$

$\tan$ は割り算で。

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$$

$2$ 乗して  ​ を外すと、必ず $\pm$ が出る。 その符号を決めるのが象限の条件だ — これを使い忘れると、答えが $2$ つ出て終わらない。

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ なので $\cos \theta =\pm \frac{4}{5}$。

$\theta$ は第2象限なので $\cos \theta <0$。よって

$$\cos \theta =-\frac{4}{5}$$

$\tan$ は割り算。

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$$

発展 — 一歩先へ。 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ — この式は、三平方の定理そのものである。

単位円上の点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ は、原点からの距離が $1$。距離の公式(三平方の定理)から

$$\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=1⟹{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$

証明終わり。 三角関数の最も基本的な等式が、幾何の最も基本的な定理の言い換えだった。

この式は、あまりに有用なので「万能の道具」と呼びたくなる。

使い道1: $\sin$ と $\cos$ の変換(この問題)

使い道2: 式の簡単化。 ${\sin }^2\theta$ を見たら $1-{\cos }^2\theta$ に置きかえられる — $\cos$ だけの式に統一できる。

使い道3: 積分。 $\int {\sin }^{2}xdx$ は、${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$(半角の公式、これも相互関係から出る)に直せば計算できる。

使い道4: 媒介変数の消去。 点 $(2\cos \theta ,3\sin \theta )$ の軌跡を求めるとき

$$\frac{x}{2}=\cos \theta ,\frac{y}{3}=\sin \theta ⟹\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$$

楕円が出てくる ✓ — $\theta$ を消すのに、この式を使う。

そして、双曲線関数という"いとこ"もいる。

$${\cosh }^{2}t-{\sinh }^{2}t=1$$

($\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$、$\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$。符号がマイナスになっている。)

三角関数が円 $x^2+y^2=1$ を描くのに対し、双曲線関数は双曲線 $x^2-y^2=1$ を描く。 名前の由来だ。

そして驚くべきことに、この $2$ つは複素数を通じてつながっている。

$$\cos (ix)=\cosh x,\sin (ix)=i\sinh x$$

円と双曲線が、虚数を経由して同じものになる。 オイラーの公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ が、その架け橋だ。

${\sin }^2+{\cos }^2=1$ という素朴な式の向こうに、そんな世界が広がっている。

別解

単位円に、直角三角形を実際に描く。 そうすれば、公式も符号の議論も要らない。絵がすべてを教えてくれる。

手順1: 単位円を描き、第 $2$ 象限に点をとる。

$\sin \theta =\frac{3}{5}$ ということは、$y$ 座標が $\frac{3}{5}$。第 $2$ 象限(左上)なので、点は左上にある。

手順2: その点から $x$ 軸に垂線を下ろし、直角三角形を作る。

• 斜辺(原点から点まで)$=1$(単位円の半径)
• 縦の辺($y$ 座標)$=\frac{3}{5}$
• 横の辺($|x|$)$=?$

手順3: 三平方の定理で、横の辺を求める。

$${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+(\text{横}{)}^2=1^2⟹(\text{横}{)}^2=\frac{16}{25}⟹\text{横}=\frac{4}{5}$$

$3$-$4$-$5$ の直角三角形が現れた(辺の比 $\frac{3}{5}:\frac{4}{5}:1=3:4:5$)。

手順4: 符号を、絵から読む。

点は第 $2$ 象限(左上)にあるので、$x$ 座標は負。

$$\cos \theta =-\frac{4}{5}$$

$\pm$ で迷う余地がない。 図を見れば、$x$ が左にあることは一目瞭然だ。

手順5: $\tan$ は「傾き」として読む。

原点から点 $\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ へ引いた直線の傾きは

$$\tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$$

左上へ向かう、ゆるやかな直線 — 傾きは負で、絶対値は $1$ より小さい ✓ 図と一致する。

この方法の何がよいか。

$1$ つ目: 符号ミスが構造的に起きない。 「第 $2$ 象限だから $\cos$ は負」と頭で考えるのではなく、図を見れば左にある。考える必要すらない。

$2$ つ目: $3$-$4$-$5$ に気づける。 $\sin \theta =\frac{3}{5}$ と聞いた瞬間に「あ、$3$-$4$-$5$ だな」と分かれば、$\cos$ の値($\frac{4}{5}$)は計算せずに出る。有名な直角三角形の比は、覚えておくと速い。

$$3:4:5,5:12:13,8:15:17$$

$3$ つ目: 検算ができる。 ${\sin }^2+{\cos }^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓ — 必ず $1$ になることを確かめる。

もう $1$ つの相互関係も、確認しておこう。

$$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$

代入すると

$$1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16},\frac{1}{{\cos }^2\theta }=\frac{1}{16/25}=\frac{25}{16}✓$$

一致した。 この公式は ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ の両辺を ${\cos }^2$ で割っただけ — 覚えるより、その場で作るほうが早い。